A „Ha és csak akkor” használata a matematikában

A statisztikákról és a matematikáról olvasva az egyik kifejezés, amely rendszeresen megjelenik, „ha csak akkor”. Ez a kifejezés különösen megjelenik a matematikai tételek vagy bizonyítékok kijelentéseiben. De pontosan mit jelent ez az állítás?

Ahhoz, hogy megértsük a „csak és csak akkor” fogalmát, először tudnunk kell, mit jelent egy feltételes kijelentés. A feltételes állítás az az, amelyet két másik állítás alkot, amelyeket P és Q jelölünk. Feltételes kijelentés kialakításához azt mondhatjuk, hogy „ha P, akkor Q”.

Az alábbiakban példák az ilyen jellegű állításra:

• Ha kívül esik, akkor sétámmal viszem az esernyőmet.
• Ha keményen tanul, akkor keres egy A-t.
• Ha n akkor osztható 4-gyel n osztható 2-del.

Három másik állítás kapcsolódik bármely feltételes állításhoz. Ezeket hívják fordított, inverz és kontrapozitív. Ezeket az állításokat úgy formáljuk, hogy a P és a Q sorrendjét megváltoztatjuk az eredeti feltételtől, és beillesztjük a „nem” szót az inverz és kontrapozitív kifejezésre.

Itt csak az ellenkezőjét kell figyelembe vennünk. Ezt az állítást az eredetiből az állítja, hogy „ha Q, akkor P”. Tegyük fel, hogy azzal a feltétellel kezdjük, hogy „ha esik kívül, akkor én vigye magával az esernyőmet séta közben. ” Ennek a kijelentésnek a fordítottja: „Ha sétámmal veszem az esernyőmet, akkor esik kívül."

Csak ezt a példát kell figyelembe vennünk, hogy rájöjjünk, hogy az eredeti feltételes logikailag nem ugyanaz, mint az ellenkezője. E két állítási forma összetévesztése a fordított hiba. Esernyőt vehetünk egy sétára, annak ellenére, hogy esik az eső.

Egy másik példaként azt a feltételt vesszük figyelembe, „Ha egy szám osztható 4-vel, akkor osztható kettővel”. Ez az állítás egyértelműen igaz. Ez a megállapítás viszont ellentmondásos: „Ha egy szám osztható 2-vel, akkor osztható 4-vel”, akkor hamis. Csak egy olyan számot kell megvizsgálnunk, mint például a 6. Bár 2 osztja ezt a számot, 4 nem. Noha az eredeti állítás igaz, ellenkezőleg nem.

Ez egy olyan kétfeltételes nyilatkozathoz vezet, amelyet "csak akkor és csak akkor" állításnak hívunk. Bizonyos feltételes állításoknak is vannak igaz fordításai. Ebben az esetben formálhatjuk az úgynevezett bikötételt. A kétfeltételes nyilatkozat formája:

"Ha P, akkor Q, és ha Q, akkor P."

Azóta Építkezés kissé kínos, különösen, ha a P és a Q saját logikai állításuk, egyszerűsítjük a kétfeltételű állítást a következő kifejezés használatával: "ha, és csak akkor ha." Ahelyett, hogy azt mondanánk, hogy "ha P, akkor Q, és ha Q, akkor P", akkor inkább azt mondjuk, hogy "P akkor és csak akkor, ha Q". Ez az konstrukció kiküszöböli néhányat redundancia.

Például a statisztikát magában foglaló „csak akkor, ha” kifejezésre csak a minta szórására vonatkozó tényt keresse tovább. Az adatkészlet mintánkénti szórása egyenlő: nulla csak akkor, ha az összes adatérték azonos.

Ezt a kétfeltételes kijelentést feltételesre és ellenkezőre osztjuk. Aztán látjuk, hogy ez az állítás mind a következőket jelenti:

• Ha a szórás nulla, akkor az összes adat azonos.
• Ha az összes adatérték azonos, akkor a szórás nullával egyenlő.

Ha megpróbálunk bizonyítani egy kétfeltételes feltételt, akkor a legtöbb esetben a felosztást végezzük. Ez a bizonyítéknak két részből áll. Az egyik rész, amelyet bebizonyítunk, „ha P, akkor Q”. A bizonyítás másik része, amelyre szükségünk van, „ha Q, akkor P.”

A kétfokozatú állítások olyan feltételekhez kapcsolódnak, amelyek egyszerre szükségesek és elégségesek. Vegyük fontolóra „ha ma van húsvéti, akkor holnap hétfő. ” Ma húsvét elegendő ahhoz, hogy holnap hétfő legyen, azonban erre nincs szükség. Ma lehet vasárnap, a húsvét kivételével, holnap még mindig hétfő lesz.

A „csak akkor” kifejezést gyakran használják a matematikai írásban, hogy saját rövidítéssel rendelkezzen. Időnként a „csak akkor és ha” kifejezés mondatában szereplő kétfeltételes feltétel egyszerűen „iff” -re van rövidítve. Így a „P akkor és csak akkor, ha Q” állítás „P iff Q.” lesz.