A részek közötti integráció a sok alkalmazott integrációs technika egyike számítás. Az integrációnak ezt a módszerét úgy lehet gondolkodni, mint a termékszabály. Ennek a módszernek az alkalmazása során felmerülő egyik nehézség annak meghatározása, hogy melyik funkciót kell integránkban illeszteni az adott részhez. A LIPET betűszó felhasználhat bizonyos útmutatásokat az integrál részek felosztásához.
Integráció alkatrészek szerint
Emlékezzünk a részekre történő integráció módszerére. Ennek a módszernek a képlete a következő:
∫ u dv = uv - ∫ v du.
Ez a képlet megmutatja az integrand melyik részét kell egyenlővé tenni u, és melyik részt kell egyenlővé tenni d-velv. A LIPET olyan eszköz, amely segíthet nekünk ebben a törekvésben.
A LIPET betűszó
A „LIPET” szó egy betűszó, vagyis minden betű egy szót jelent. Ebben az esetben a betűk különféle típusú funkciókat képviselnek. Ezek az azonosítások:
- L = logaritmikus függvény
- I = Inverz trigonometrikus függvény
- P = Polinomiális függvény
- E = exponenciális függvény
- T = trigonometrikus függvény
Ez szisztematikus listát ad arról, hogy mit próbáljon egyenlővé tenni u az alkatrészek szerinti integráció képletében. Ha van logaritmikus függvény, próbálja meg ezt egyenlővé tenni u, az integrand többi része egyenlő d-velv. Ha nincsenek logaritmikus vagy inverz triggerek függvények, próbáljon meg egy polinomot megadni u. Az alábbi példák segítenek tisztázni ennek a rövidítésnek a használatát.
1. példa
Fontolja meg ∫ x lnx dx. Mivel létezik logaritmikus függvény, állítsa ezt a funkciót egyenlővé u = ln x. Az integrand többi része dv = x dx. Ebből következik, hogy du = dx / x és az v = x2/ 2.
Ezt a következtetést próbálással és hibával lehet megállapítani. A másik lehetőség az lett volna u = x. Így du nagyon könnyű kiszámítani. A probléma akkor merül fel, ha dv = lnx. Integrálja ezt a funkciót a meghatározás érdekében v. Sajnos ezt nagyon nehéz integrál kiszámítani.
2. példa
Vegye figyelembe az integrált ∫-t x kötözősaláta x dx. Kezdje a LIPET első két betűjével. Nincsenek logaritmikus függvények vagy inverz trigonometrikus függvények. A LIPET következő betűje, P, polinomokra vonatkozik. Mivel a funkció x egy polinom, halmaz u = x és dv = cos x.
Ez a helyes választás az alkatrészek közötti integrációhoz, mint du = dx és v = bűn x. Az integrál lesz:
x bűn x - bűn x dx.
Szerezze be az integrált a bűn egyértelmű integrációjával x.
Amikor a LIPET nem sikerül
Vannak olyan esetek, amikor a LIPET meghiúsul, ezért ezt beállítani kell u megegyezik a LIPET által előírt funkciótól eltérő funkcióval. Ezért ezt a rövidítést csak a gondolatok szervezésének eszközeként kell gondolni. A LIPET rövidítés emellett egy stratégia vázlatát is mutatja be, amelyet kipróbálhatunk, ha részekre történő integrációt alkalmazunk. Ez nem egy matematikai tétel vagy alapelv, amely mindig a részek közötti integráció problémáján keresztül működik.