A 3 vagy annál több készlet valószínűsége

Ha két esemény van egymást kizáró, valószínűsége unió kiszámítható a hozzáadási szabály. Tudjuk, hogy egy szerszámgördítéshez a négynél nagyobb vagy háromnál kevesebb szám gördítése kölcsönösen kizáró események, amelyeknek semmi közös nincs. Tehát az esemény valószínűségének megállapításához egyszerűen hozzáadjuk annak a valószínűségét, hogy négynél nagyobb számot gördítünk, annak a valószínűségéhez, hogy háromnál kevesebb számot gördítünk. A szimbólumokban a következők vannak, ahol a főváros P „valószínűségét” jelöli:

P(négynél nagyobb vagy kevesebb, mint három) = P(négynél nagyobb) + P(kevesebb mint három) = 2/6 + 2/6 = 4/6.

Ha az események nem kölcsönösen kizárva, akkor nem csupán összeadjuk az események valószínűségét, hanem le kell vonnunk a útkereszteződés az események. Tekintettel az eseményekre A és B:

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

Itt számolunk azzal a lehetőséggel, hogy kétszer megszámoljuk mindkettőt A és B, és ezért vonjuk le az metszés valószínűségét.

Az ezzel kapcsolatban felmerülő kérdés a következő: „Miért álljon le két készlettel? Mi a valószínűsége, hogy kettőnél több halmazból áll? ”

A fenti ötleteket kiterjesztjük arra a helyzetre is, amikor három sorozatunk van, amelyeket meg fogunk jelölni A, Bés C. Ennél többet nem fogunk feltételezni, ezért fennáll annak a lehetősége, hogy a halmazok nem üres metszéspontot tartalmaznak. A cél az lesz, hogy kiszámítsa a valószínűség e három halmaz unióját, vagy P (A U B U C).

A fenti két csoportra vonatkozó vita továbbra is fennáll. Összeadhatjuk az egyes halmazok valószínűségeit A, Bés C, de ehhez kétszer megszámoltuk néhány elemet.

A kereszteződés elemei A és B kétszer számoltak, mint korábban, de most vannak más elemek, amelyeket potenciálisan kétszer számoltak. A kereszteződés elemei A és C és a B és C most is kétszer számoltak. Így a valószínűségek ezen kereszteződésekből is ki kell vonni.

De túl sokat vontak le? Van valami új, amit figyelembe kell venni, hogy nem kellett aggódnunk, amikor csak két sorozat volt. Csakúgy, mint bármelyik két halmaznak lehet metszete, mindhárom halmaznak lehet metszete. Amikor megpróbáltuk megbizonyosodni arról, hogy nem kétszer számolunk semmit, nem számoltuk meg azokat az elemeket, amelyek mindhárom sorozatban megjelennek. Tehát mindhárom halmaz metszéspontjának valószínűségét vissza kell adni.

Az alábbiakban ismertetett képlet származik a fenti beszélgetésből:

P (A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

Tegyük fel, hogy a három készlet egyesülésének valószínűségének képletének megtekintéséhez egy társasjátékot játszunk, amely magában foglalja két kocka gördítése. A játékszabályok miatt legalább egy darabot meg kell szerezni, hogy kettő, három vagy négy nyerjünk. Mi a valószínűsége ennek? Megjegyezzük, hogy megpróbáljuk kiszámítani a három esemény egységének valószínűségét: legalább egy kettő gördítése, legalább három gördítése, legalább egy négy gördítése. Tehát a fenti képletet a következő valószínűséggel használhatjuk:

• A kettő gördülésének valószínűsége 11/36. A számláló itt abból a tényből származik, hogy hat olyan eredmény van, amelyekben az első szerszám kettő, hat olyan, amelyben a második szerszám kettő, és egy eredmény, ahol mindkét kocka kettős. Ez 6 + 6 - 1 = 11-et eredményez.
• A hármas gördülésének valószínűsége 11/36, a fenti okból.
• A négy gördülésének valószínűsége 11/36, a fenti okból.
• A kettő és a harmadik gördülésének valószínűsége 2/36. Itt egyszerűen felsorolhatjuk a lehetőségeket: a kettő előbb jönhet, vagy másodszor is jönhet.
• A kettő és a négy gördülésének valószínűsége 2/36, ugyanabból az okból, hogy a kettő és a három valószínűsége 2/36.
• A kettő, három és négy gördülésének valószínűsége 0, mert csak két kocka van gördítve, és nincs mód arra, hogy három kocka három számot kapjunk.

Most a képletet használjuk, és látjuk, hogy valószínű, hogy legalább kettő, három vagy négy megkapjuk

11/36 + 11/36 + 11/36 – 2/36 – 2/36 – 2/36 + 0 = 27/36.

A négy hal összekapcsolódásának valószínűségére vonatkozó képlet formájának oka hasonló a három halmaz képletének érveléséhez. A halmazok számának növekedésével a párok, hármasok és így tovább növekszik. Négy halmaznál hat páros kereszteződés van, amelyeket le kell vonni, négy hármas kereszteződéseket, amelyek visszaadják a helyet, és most négyszeres kereszteződést kell levonni. Négy készlet A, B, C és D, ezen halmazok egységének képlete a következő:

P (A U B U C U D) = P(A) + P(B) + P(C) +P(D) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(A ∩ D)- P(B ∩ C) - P(B ∩ D) - P(C ∩ D) + P(A ∩ B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ D) + P(A ∩ C ∩ D) + P(B ∩ C ∩ D) - P(A ∩ B ∩ C ∩ D).

Lehetne olyan képleteket írni (amelyek a fentieknél még ijesztőbbnek tűnnek) a négynél több halmaz egységének valószínűségére, ám a fenti képletek tanulmányozásakor észlelnünk kell néhány mintát. Ezek a minták megtartják a négynél több készlet egységének kiszámítását. Tetszőleges számú halmaz egységének valószínűsége a következő:

1. Adja hozzá az egyes események valószínűségeit.
2. Vonjuk le a a kereszteződések valószínűségei minden eseménypárt.
3. Adja hozzá a három esemény minden halmazának metszéspontját.
4. Vonjuk le a négy esemény minden halmazának metszéspontjának valószínűségét.
5. Folytassa ezt a folyamatot mindaddig, amíg az utolsó valószínűség annak a valószínűségnek felel meg, amelyben megkezdjük a halmazok teljes számát.