Számos valószínűségi tételt lehet levezetni a valószínűség axiómái. Ezek a tételek felhasználhatók annak a valószínűségnek a kiszámításához, amelyet meg akarunk tudni. Az egyik ilyen eredményt komplementumszabálynak nevezik. Ez az állítás lehetővé teszi számukra az an valószínűségének kiszámítását eseményA a komplement valószínűségének ismeretével AC. A kiegészítés szabályának meghatározása után meglátjuk, hogyan lehet ezt az eredményt bizonyítani.
A kiegészítő szabály
Az esemény kiegészítése A jelölése AC. A kiegészítése A az a készlet az összes elem az univerzális készletben, vagy mintaterület S, amelyek nem a halmaz elemei A.
A komplementálási szabályt a következő egyenlet fejezi ki:
P (AC) = 1 - P (A)
Itt láthatjuk, hogy egy esemény valószínűségének és annak kiegészítésének valószínűségének 1-nek kell lennie.
A kiegészítő szabály igazolása
A komplementszabály bizonyítására a valószínűség axiómáival kezdjük. Ezeket az állításokat bizonyítás nélkül feltételezzük. Látni fogjuk, hogy ezek szisztematikusan felhasználhatók-e az esemény kiegészítésének valószínűségére vonatkozó állításunk igazolására.
- A valószínűség első axiómája az, hogy bármely esemény valószínűsége nemnegatív valós szám.
- A valószínűség második axióma a teljes mintaterület valószínűsége S az egyik. Szimbolikusan P (S) = 1.
- A valószínűség harmadik axiómája szerint If A és B kölcsönösen kizárják egymást (azaz üres metszéspontjuk van), akkor megadjuk a ezen események uniója mint P (A U B ) = P (A) + P (B).
A komplementálási szabályhoz nem kell a fenti lista első axiómáját használni.
Állításunk igazolására az eseményeket vesszük figyelembe Aés AC. A halmazelméletből tudjuk, hogy e két halmaz üres kereszteződéssel rendelkezik. Ennek oka az, hogy egy elem nem lehet egyszerre mindkettőben A és nem be A. Mivel van egy üres kereszteződés, ez a két halmaz egymást kizáró.
A két esemény egyesülése A és AC szintén fontosak. Ezek kimerítő események, azaz a unió ezeknek az eseményeknek a mindegyik területe S.
Ezek a tények az axiómákkal együtt adják meg az egyenletet
1 = P (S) = P (A U AC) = P (A) + P (AC) .
Az első egyenlőség a második valószínűségi axiómának köszönhető. A második egyenlőség azért van, mert az események A és AC kimerítőek. A harmadik egyenlőség a harmadik valószínűségi axióma miatt.
A fenti egyenlet átrendezhető a fentiekben megadott formába. Csak annyit kell tennünk, hogy levonjuk a valószínűségét A az egyenlet mindkét oldaláról. Így
1 = P (A) + P (AC)
lesz az egyenlet
P (AC) = 1 - P (A).
Természetesen a szabályt azzal is kifejezhetjük, hogy:
P (A) = 1 - P (AC).
Ezeknek az egyenleteknek mind a három egyenértékű módja annak, hogy ugyanazt mondjuk. Ebből a bizonyítékból láthatjuk, hogy csupán két axióma és néhány meghatározott elmélet nagyban segítenek beazonosítani a valószínűséggel kapcsolatos új állításokat.