Az egyik stratégia a matematikában az, hogy néhány állítással kezdődik, majd ebből az állításból felépít több matematikát. A kezdeti állításokat axiómáknak nevezzük. Az axióma általában valami, ami matematikailag magától értetődő. Az axiómák viszonylag rövid listájából a deduktív logika szolgál más állítások, tételeknek vagy állításoknak a bizonyítására.
A matematika valószínűségként ismert területe nem különbözik egymástól. A valószínűség három axiómára csökkenthető. Ezt először Andrei Kolmogorov matematikus készítette. A valószínűség mögött álló maroknyi axióma felhasználható az összes következtetésére fajta az eredmények. De mi ezek a valószínűségi axiómák?
Fogalommeghatározások és előzetes beszámolók
A valószínűség axiómáinak megértése érdekében először néhány alapvető meghatározást kell megvitatnunk. Feltételezzük, hogy van egy olyan eredménycsoport, amelyet mintaterületnek nevezünk S. Ez a mintaterület úgy tekinthető, mint a vizsgált helyzet univerzális halmaza. A mintaterület eseményeknek nevezett részhalmazokból áll E1, E2,..., En.
Feltételezzük azt is, hogy van mód arra, hogy valószínűséget rendeljünk bármely eseményhez E. Ezt úgy tekinthetjük, mint egy funkciót, amely rendelkezik egy bemenetkészlettel, és a valós szám mint output. A valószínűsége eseményE jelölése P(E).
Axiom One
A valószínűség első axiómája, hogy bármely esemény valószínűsége nemnegatív valós szám. Ez azt jelenti, hogy a legkisebb, amely valaha valószínűsíthető, nulla, és hogy nem lehet végtelen. A számsor, amelyet használhatunk, valódi szám. Ez vonatkozik mind a racionális számokra, más néven törtekre, és az irracionális számokra, amelyeket nem lehet törtekként írni.
Egy dolog, amit meg kell jegyezni, hogy ez az axióma nem mond semmit arról, hogy mekkora lehet egy esemény valószínűsége. Az axióma kiküszöböli a negatív valószínűségek lehetőségét. Ez azt a gondolatot tükrözi, hogy a lehetetlen események számára fenntartott legkisebb valószínűség nulla.
Két Axiom
A valószínűség második axióma az, hogy a teljes mintaterület valószínűsége egy. Szimbolikusan írunk P(S) = 1. Ebben az axiómában rejlik az a felfogás, hogy a mintaterület mindent megtesz valószínűségi kísérletünk számára, és hogy a mintaterületen kívül nincsenek események.
Önmagában ez az axióma nem határoz meg felső határt azoknak az eseményeknek a valószínűségére, amelyek nem a teljes mintaterület. Ez tükrözi, hogy valami abszolút bizonyossággal valószínűsége 100%.
Három axióma
A valószínűség harmadik axióma kölcsönösen kizáró eseményekkel foglalkozik. Ha E1 és E2 vannak egymást kizáró, ami azt jelenti, hogy üres kereszteződésük van, és az U betűvel jelöljük az uniót P(E1 U E2 ) = P(E1) + P(E2).
Az axióma valójában több (akár számtalanul végtelen) eseményt fed le a helyzetről, amelyek mindegyik párja kölcsönösen kizárja egymást. Amíg ez megtörténik, a az unió valószínűsége az események száma megegyezik a valószínűségek összegével:
P(E1 U E2 U... U En ) = P(E1) + P(E2) +... + En
Noha ez a harmadik axióma valószínűleg nem tűnik olyan hasznosnak, látni fogjuk, hogy a másik két axiómával valóban meglehetősen erős.
Axiom alkalmazások
A három axióma beállítja a felső határt bármely esemény valószínűségére. Jelöljük az esemény kiegészítését E által EC. A meghatározott elméletből, E és EC üres kereszteződés és kölcsönösen kizárják egymást. Továbbá E U EC = S, a teljes mintaterület.
Ezek a tények az axiómákkal együtt adnak nekünk:
1 = P(S) = P(E U EC) = P(E) + P(EC) .
Átrendezzük a fenti egyenletet és meglátjuk P(E) = 1 - P(EC). Mivel tudjuk, hogy a valószínűségeknek nemnegatívnak kell lenniük, most az van, hogy bármely esemény valószínűségének felső határa 1.
A képlet újbóli átrendezésével megvan P(EC) = 1 - P(E). Ebből a képletből azt is levezethetjük, hogy egy esemény be nem valószínűsége egy mínusz annak valószínűsége, hogy bekövetkezik.
A fenti egyenlet lehetőséget ad arra is, hogy kiszámítsuk a lehetetlen esemény valószínűségét, amelyet üres halmaz jelöl. Ennek megtekintéséhez emlékeztessen arra, hogy ebben az esetben az üres készlet az univerzális készlet kiegészítése SC. Mivel 1 = P(S) + P(SC) = 1 + P(SC), algebra szerint P(SC) = 0.
További alkalmazások
A fentiek csak néhány példát mutatnak a tulajdonságokra, amelyek közvetlenül az axiómákból bizonyíthatók. Sokkal több eredmény van a valószínűségben. De ezek a tételek logikai kiterjesztések a valószínűség három axiómájából.