A kiegészítő szabály használata a statisztikákban

A statisztikákban a komplement szabály egy tétel, amely kapcsolatot teremt egy an valószínűsége között esemény és az esemény komplementációjának valószínűsége oly módon, hogy ha ismerjük ezen valószínűségek egyikét, akkor automatikusan ismerjük a másikot.

A komplementálási szabály akkor hasznos, ha kiszámolunk bizonyos valószínűségeket. Sokszor egy esemény valószínűsége rendetlen vagy bonyolult kiszámításra kerül, míg annak kiegészítése valószínűsége sokkal egyszerűbb.

Mielőtt megtudnánk, hogy a kiegészítési szabályt hogyan használják, külön meghatározzuk, mi ez a szabály. Egy kis jelöléssel kezdjük. Az esemény kiegészítése A, amely a mintaterületS amelyek nem a halmaz elemei A, jelölése AC.

A komplementálási szabályt úgy kell kifejezni, hogy "egy esemény valószínűségének és a komplementáció valószínűségének összege egyenlő 1-gyel", a következő egyenlettel kifejezve:

P (A^C) = 1 - P (A)

A következő példa bemutatja, hogyan kell használni a kiegészítő szabályt. Nyilvánvalóvá válik, hogy ez a tétel felgyorsítja és egyszerűsíti a valószínűségi számításokat.

Tegyük fel, hogy nyolc tisztességes érmét csúsztatunk le - mi az a valószínűsége, hogy legalább egy fejünk látható? Ennek egyik módja a következő valószínűségek kiszámítása. Mindegyik nevezője azzal magyarázható, hogy 2 van⁸ = 256 eredmény, mindegyik ugyanolyan valószínű. A következők mindegyike egy képletet ad kombinációk:

• Pontosan egy fej megfordulásának valószínűsége C (8,1) / 256 = 8/256.
• Pontosan két fej megfordulásának valószínűsége C (8,2) / 256 = 28/256.
• Pontosan három fej megfordulásának valószínűsége C (8,3) / 256 = 56/256.
• Pontosan négy fej megfordulásának valószínűsége C (8,4) / 256 = 70/256.
• Pontosan öt fej megfordulásának valószínűsége C (8,5) / 256 = 56/256.
• Pontosan hat fej megfordulásának valószínűsége C (8,6) / 256 = 28/256.
• Pontosan hét fej megfordulásának valószínűsége C (8,7) / 256 = 8/256.
• Pontosan nyolc fej megfordulásának valószínűsége C (8,8) / 256 = 1/256.

Ezek egymást kizáró események, tehát a valószínűségeket összeadjuk a megfelelő alkalmazásával hozzáadási szabály. Ez azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy legalább egy fejünk van, a 256-ból 255.

Most kiszámoljuk ugyanazt a valószínűséget a komplement szabály használatával. A „Legalább egy fejet megfordítunk” esemény kiegészítése a „Nincsenek fejek” esemény. Ennek egy módja van, megadva a valószínűségét 1/256. A komplement szabályt használjuk, és azt találjuk, hogy a kívánt valószínűségünk 256-ból egy mínusz egy, ami 256-ból 256-nak felel meg.

Ez a példa nemcsak a komplementumszabály hasznosságát, hanem erejét is demonstrálja. Noha az eredeti számításunknak nincs semmi hibája, ez eléggé részt vett és több lépést igényelt. Ezzel szemben, amikor a komplementálási szabályt alkalmaztuk erre a problémára, nem volt olyan sok lépés, ahol a számítások rosszra fordulhatnak.