Mi a szentpétervári paradoxon?

Az oroszországi Szentpétervár utcáin vagy, és egy öreg ember javasolja a következő játékot. Egy érmét lefordít (és kölcsönveszi az egyikét, ha nem bízik benne, hogy az ő tisztességes). Ha a farok felé esik, akkor elveszíti és a játéknak vége. Ha az érme följebb van, akkor egy rubelt nyer, és a játék folytatódik. Az érmét újra dobják. Ha farok van, akkor a játék véget ér. Ha fej, akkor további két rubelt nyer. A játék így folytatódik. Minden egymást követő fej esetében megkétszerezzük az előző forduló nyereményét, de az első farok jelénél a játék befejeződik.

Mennyit fizetne ennek a játéknak a lejátszása? Ha figyelembe vesszük a várható érték Ennek a játéknak a lejátszásakor meg kell ugrani az esélyre, függetlenül attól, hogy mekkora a játék költsége. A fenti leírásból azonban valószínűleg nem lenne hajlandó sokat fizetni. Végül is 50% esély van arra, hogy semmit sem nyer. Ezt hívják a szentpétervári paradoxonnak, amelyet Daniel Bernoulli 1738-as kiadása miatt neveztek el A szentpétervári Császári Tudományos Akadémia kommentárai.

Kezdjük a kiszámítással valószínűségek társítva ehhez a játékhoz. Az a valószínűsége, hogy egy tisztességes érme felszáll, 1/2. Minden érmedobás független esemény, és így valószínűsítjük a valószínűségeket egy a használatával fa diagram.

• A sorban két fej valószínűsége (1/2)) x (1/2) = 1/4.
• A három fej egy sorban valószínűsége (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8.
• A valószínűség kifejezése n fejek egymás után, ahol n egy pozitív egész szám, amelyet exponensekkel írunk 1/2-reⁿ.

Most menjünk tovább és nézzük meg, hogy tudjuk-e általánosítani, mi lenne a nyeremény minden fordulóban.

• Ha van fejed az első fordulóban, akkor egy rubelt nyer az adott fordulóban.
• Ha van fej a második fordulóban, akkor két rubelt nyerhet abban a körben.
• Ha van egy fej a harmadik fordulóban, akkor négy rubelt nyersz abban a körben.
• Ha elég szerencséd van, hogy teljes egészében megcsináld n^th kerek, akkor nyer 2^N-1 rubelt abban a körben.

A játék várható értéke megmondja, milyen átlagos lenne a nyeremény, ha sokszor, sokszor játszanád a játékot. A várható érték kiszámításához szorozzuk meg az egyes fordulók nyereményeinek értékét azzal a valószínűséggel, hogy erre a fordulóra jutunk, majd összeadjuk ezeket a termékeket.

• Az első forduló óta 1/2 valószínűséggel és 1 rubel nyereményével rendelkezik: 1/2 x 1 = 1/2
• A második fordulótól kezdve valószínűsége 1/4, és nyereménye 2 rubel: 1/4 x 2 = 1/2
• Az első forduló óta valószínűsége 1/8 és nyereménye 4 rubel: 1/8 x 4 = 1/2
• Az első forduló óta valószínűsége 1/16, nyereménye 8 rubel: 1/16 x 8 = 1/2
• Az első forduló óta valószínűsége 1/2ⁿ és 2 nyeremény^N-1 rubel: 1/2ⁿ x 2^N-1 = 1/2

Az egyes fordulók értéke 1/2, és az eredmények összeadódnak az elsőből n a körök együttesen várható értéket adnak nekünk n/ 2 rubel. Mivel n bármilyen pozitív egész szám lehet, a várt érték korlátlan.

Tehát mit kell fizetnie a játékhoz? Rubel, ezer rubel vagy akár a milliárd, ezermillió A rubel hosszú távon kevesebb lenne a vártnál. Annak ellenére, hogy a fenti számítások ígéretes elmondhatatlan gazdagságot ígérnek, mindannyian vonakodnánk fizetni a játékért.

A paradoxon megoldásának számos módja van. Az egyik legegyszerűbb módszer, ha senki sem kínálna olyan játékot, mint amilyen a fent leírt. Senki sem rendelkezik a végtelen forrásokkal, amelyek fizetni fogják valakinek, aki továbbra is fejet forgatott.

A paradoxon megoldásának másik módja az, hogy rámutatunk, mennyire valószínűtlen, ha valami 20 fejet egymás után kapunk. Az esély ennek a történésnek jobb, mint a legtöbb állam nyerésére lottó. Az emberek rendszeresen játszanak ilyen lottókat öt dollár vagy annál kevesebbért. Tehát a szentpétervári játék játékának valószínűleg nem haladhatja meg a néhány dollárt.

Ha az ember be Szentpétervár azt mondja, hogy néhány rubelnél többet kell fizetnie a játékának, akkor udvariasan el kell utasítani és el kell mennie. A rubel egyébként nem sokat ér.