A Chuck-a-Luck várható értéke

A Chuck-a-Luck szerencsejáték. Három kocka hengerelik, néha drótvázban. Ennek a keretnek köszönhetően ezt a játékot madárketrecnek is hívják. Ezt a játékot inkább a karneválban látják, nem pedig a kaszinókban. A véletlenszerű kocka használata miatt valószínűséggel használhatjuk ezt a játékot. Pontosabban kiszámolhatjuk a játék várható értékét.

Többféle tét lehetséges fogadásra. Csak az egyszámú tétet vesszük figyelembe. Ezen a téteken egyszerűen kiválasztunk egy adott számot egytől hat-ig. Aztán dobjuk a kocka. Fontolja meg a lehetőségeket. Az összes kocka, kettő, az egyik vagy egyik sem mutathatja meg a választott számot.

Tegyük fel, hogy ez a játék a következőket fizeti:

• 3 dollár, ha mind a három kocka megegyezik a kiválasztott számmal.
• 2 dollár, ha pontosan két kocka megegyezik a kiválasztott számmal.
• 1 dollár, ha pontosan az egyik kocka megegyezik a kiválasztott számmal.

Ha egyik kocka sem felel meg a kiválasztott számnak, akkor 1 dollárt kell fizetnünk.

Mi a játék várható értéke? Más szavakkal, hosszú távon átlagosan mekkora számíthatunk nyerésre vagy veszteségre, ha ezt a játékot ismételten játszanánk?

A játék várható értékének meghatározásához négy valószínűséget kell meghatároznunk. Ezek a valószínűségek megfelelnek a négy lehetséges eredménynek. Megjegyezzük, hogy minden halál független a többitől. E függetlenség miatt a szorzási szabályt alkalmazzuk. Ez segít bennünket az eredmények számának meghatározásában.

Azt is feltételezzük, hogy a kocka tisztességes. A három kocka mindegyikének hat oldala egyaránt valószínűleg gördül.

E három kocka sodrása esetén 6 x 6 x 6 = 216 lehetséges eredmény. Ez a szám minden valószínűségünk nevezője.

Az egyik módja annak, hogy mindhárom kocka megfeleljen a kiválasztott számnak.

Öt módon lehet egy halottat megsérteni a választott számmal. Ez azt jelenti, hogy 5 x 5 x 5 = 125 módon lehet, hogy egyik kocka sem felel meg a kiválasztott számnak.

Ha pontosan kettőnek vesszük figyelembe a kocka illesztését, akkor van egy olyan szerszám, amely nem egyezik.

• 1 x 1 x 5 = 5 módon lehet az első két kocka összeegyeztetni a számot, a harmadik pedig eltérő.
• 1 x 5 x 1 = 5 módon lehet az első és a harmadik kocka illeszkedni, a második pedig különbözik egymástól.
• 5 x 1 x 1 = 5 lehet az első szerszám eltérő, a második és a harmadik egyezés.

Ez azt jelenti, hogy összesen 15 módon lehet pontosan két kocka illeszkedni.

Most kiszámoltuk, hogy hány módon lehet az összes eredményt elérni. 216 tekercs lehetséges. Ezek közül 1 + 15 + 125 = 141-et számoltunk el. Ez azt jelenti, hogy 216 -141 = 75 maradt.

Összegyűjtjük a fenti információkat és látjuk:

• A valószínűsége, hogy a számunk megegyezik mind a három kockával, 1/216.
• A valószínűsége, hogy a szám pontosan megegyezik a két kocka értékével, 15/216.
• Az a valószínűsége, hogy a számunk pontosan megegyezik egy szerszámmal, 75/216.
• A valószínűsége, hogy a számunk megegyezik a kocka egyikével sem, 125/216.

Készen állunk arra, hogy kiszámítsuk a várható érték ennek a helyzetnek. Az a várható érték képlete megköveteli, hogy minden esemény valószínűségét szorozzuk meg a nettó nyereséggel vagy veszteséggel, ha az esemény bekövetkezik. Ezután hozzáadjuk ezeket a termékeket.

A várható érték kiszámítása a következő:

(3)(1/216) + (2)(15/216) +(1)(75/216) +(-1)(125/216) = 3/216 +30/216 +75/216 -125/216 = -17/216

Ez körülbelül - 0,08 USD. Az értelmezés az, hogy ha ezt a játékot ismételten játszanánk, akkor átlagosan 8 cent veszítenénk minden alkalommal, amikor játszunk.