A matematikai statisztikák néha megkívánják a meghatározott elmélet alkalmazását. De Morgan törvényei két állítások, amelyek leírják a különféle elméleti műveletek közötti kölcsönhatásokat. A törvények vonatkoznak bármelyik két készletre A és B:
- (A ∩ B)C = AC U BC.
- (A U B)C = AC ∩ BC.
Miután elmagyaráztuk, hogy ezen állítások mindegyike mit jelent, megnézünk egy példát ezek használatára.
Állítsa be az elméleti műveleteket
A De Morgan törvényeinek megértéséhez fel kell hívnunk a meghatározott elméleti műveletek néhány meghatározását. Pontosabban, tudnunk kell a unió és útkereszteződés két készletből és egy készlet kiegészítéséből.
A De Morgan törvényei az unió, a kereszteződés és a komplementum kölcsönhatásaira vonatkoznak. Emlékezzünk arra, hogy:
- A halmazok metszéspontja A és B minden elemből áll, amelyek mindkettő számára közösek A és B. A kereszteződést jelöli A ∩ B.
- A halmazok uniója A és B minden olyan elemből áll, amelyek mindkét esetben A vagy B, beleértve az elemeket mindkét készletben. A kereszteződést A U B jelöli.
- A készlet kiegészítése A minden olyan elemből áll, amelyek nem a A. Ezt a kiegészítést A jelöliC.
Most, amikor visszahívtuk ezeket az elemi műveleteket, látni fogjuk a De Morgan törvényeinek nyilatkozatát. Minden készlethez A és B nekünk van:
- (A ∩ B)C = AC U BC
- (A U B)C = AC ∩ BC
Ez a két állítás Venn diagramok segítségével illusztrálható. Mint alább látható, egy példával bizonyíthatjuk. Annak bizonyítása érdekében, hogy ezek az állítások igazak, meg kell tennünk bizonyítani őket a meghatározott elméleti műveletek meghatározásainak felhasználásával.
Példa De Morgan törvényeire
Vegyük például a valós számok 0 és 5 között. Ezt intervallum jelöléssel írjuk [0, 5]. Ezen belül megvan A = [1, 3] és B = [2, 4]. Ezen túlmenően, az alapvető műveleteink alkalmazása után:
- A kiegészítés AC = [0, 1) U (3, 5]
- A kiegészítés BC = [0, 2) U (4, 5]
- Az unió A U B = [1, 4]
- A kereszteződés A ∩ B = [2, 3]
Az unió kiszámításával kezdjük AC U BC. Látjuk, hogy a [0, 1) U (3, 5] és [0, 2) U (4, 5] összekapcsolása [0, 2] U (3, 5]. A kereszteződés A ∩ B értéke [2, 3]. Látjuk, hogy ennek a halmaznak a komplemense [2, 3] szintén [0, 2] U (3, 5]. Ily módon megmutattuk ezt AC U BC = (A ∩ B)C.
Most láthatjuk a [0, 1) U (3, 5] és [0, 2) U (4, 5] metszéspontját [0, 1) U (4, 5]. Azt is látjuk, hogy az [1, 4] komplementere szintén [0, 1) U (4, 5]. Ily módon megmutattuk ezt AC ∩ BC = (A U B)C.
De Morgan törvényeinek elnevezése
A logika történetében az olyan emberek, mint a Arisztotelész és Ockham William és De Morgan törvényeivel egyenértékű nyilatkozatokat tett.
De Morgan törvényeit Augustus De Morgannek nevezték el, aki 1806–1871 élt. Noha nem fedezte fel ezeket a törvényeket, ő volt az első, aki formálisan bevezette ezeket az állításokat, matematikai megfogalmazással a javaslati logikában.