Véletlen változók binomiális eloszlással ismertek, hogy különállóak. Ez azt jelenti, hogy számolható számú eredmény fordulhat elő binomiális eloszlásban, különbséget téve ezek között az eredmények között. Például egy binomiális változó értéke három vagy négy lehet, de nem lehet szám három és négy között.
A binomiális eloszlás diszkrét jellegével kissé meglepő, hogy egy folyamatos véletlen változó használható a binomiális eloszlás közelítésére. Sokaknak binomiális eloszlások, normál eloszlást használhatunk binomiális valószínűségünk közelítésére.
Ez látható, ha ránézünk n érme dobás és bérbeadás x legyen a fejek száma. Ebben a helyzetben binomiális eloszlás van, amelynek valószínűsége a következő: p = 0,5. Ahogy növekszik a dobálások száma, látjuk, hogy ez a valószínűség hisztogram nagyobb és nagyobb hasonlóságot mutat a normál eloszlással.
A normál közelítés nyilatkozata
Minden normális eloszlást teljesen kettő határoz meg valós számok. Ezek a számok az átlag, amely a megoszlás központját méri, és a
szórás, amely méri az eloszlás terjedését. Egy adott binomiális helyzethez képesnek kell lennünk annak meghatározására, hogy melyik normál eloszlást kell használni.A helyes normál eloszlás kiválasztását a kísérletek száma határozza meg n a binomiális beállításban és a siker állandó valószínűsége p e vizsgálatok mindegyikére. A binomiális változó normál közelítése középérték np és a szórás (np(1 - p)0.5.
Tegyük fel például, hogy a feleletválasztós teszt mindegyikének 100 kérdésére kitaláltunk, ahol minden kérdés négy választás közül egyet adott helyesen. A helyes válaszok száma x egy binomiális véletlen változó a n = 100 és p = 0.25. Így ennek a véletlen változónak az átlaga 100 (0,25) = 25 és a szórása (100 (0,25) (0,75)0.5 = 4.33. A normál eloszlás 25-ös átlaggal és 4,33-os szórással meg fogja közelíteni ezt a binomiális eloszlást.
Mikor megfelelő a közelítés?
Néhány matematika használatával kimutatható, hogy van néhány feltétel, hogy a normál közelítést kell használni binomiális eloszlás. A megfigyelések száma n elég nagynak kell lennie, és a p úgy, hogy mindkettő np és n(1 - p) 10-nél nagyobb vagy egyenlő. Ez a hüvelykujjszabály, amelyet a statisztikai gyakorlat vezérel. A normál közelítést mindig lehet használni, de ha ezek a feltételek nem teljesülnek, akkor a közelítés lehet, hogy nem olyan jó, mint a közelítés.
Például, ha n = 100 és p = 0,25, akkor indokolt lehet a normál közelítés használata. Ez azért van, mert np = 25 és n(1 - p) = 75. Mivel mindkét szám nagyobb, mint 10, a megfelelő normál eloszlás meglehetősen jó feladatot jelent a binomiális valószínűségek becslésére.
Miért érdemes használni a közelítést?
A binomiális valószínűségeket egy nagyon egyszerű képlet segítségével számítják ki a binomiális együttható megállapításához. Sajnos a faktoriális a képletben nagyon könnyű számítási nehézségekbe ütközni a binomiális képlet. A normál közelítés lehetővé teszi számunkra, hogy megkerüljük ezeket a problémákat, ha egy ismerős barátjával közösen dolgozzunk egy táblázatot a normál normál eloszlás értéktáblájáról.
Sokszor nehézkes kiszámítani annak valószínűségét, hogy egy binomiális véletlen változó az értéktartományba esik-e. Ennek oka az, hogy megtaláljuk a binomiális változó valószínűségét x nagyobb, mint 3 és kevesebb, mint 10, meg kell találnunk annak valószínűségét, hogy x egyenlő 4, 5, 6, 7, 8 és 9-gyel, majd összeadjuk ezeket a valószínűségeket. Ha a normál közelítést lehet használni, akkor ehelyett meg kell határoznunk a 3-as és a 10-es z-pontokat, majd a normál normál eloszlás.