Három kocka gördülésének valószínűségei

A kocka nagyszerű illusztrációkkal szolgál fogalmak valószínűséggel. A leggyakrabban használt kocka hat oldalú kockák. Itt megtudhatja, hogyan lehet kiszámítani a valószínűségeket három standard kocka sodrására. Viszonylag szokásos probléma az, hogy kiszámítják az összeg valószínűségét két kocka gördítése. Összesen 36 különböző tekercs van két kockával, bármilyen összeg 2 és 12 között lehetséges.Hogyan változik a probléma, ha további kockákat adunk hozzá?

Ugyanúgy, mint egy halnak hat kimenetele, és két kocka hatnak van² = 36 eredmény, három kocka gördülésének valószínűségi kísérlete 6³ = 216 eredmény. Ez az ötlet további kocka esetén általánosítja. Ha gurulunk n kocka, akkor van 6ⁿ eredmények.

Megvizsgálhatjuk a több kocka gördítéséből származó lehetséges összegeket is. A lehető legkisebb összeg akkor fordul elő, ha az összes kocka a legkisebb, vagy egyenként egy. Ez három összeget ad, ha három kocka gördül. A szerszámban a legtöbb szám hat, ami azt jelenti, hogy a lehető legnagyobb összeg akkor fordul elő, ha mindhárom kocka hat. E helyzet összege 18.

Amikor n a kockákat gördítik, a lehető legkevesebb összeg n és a lehető legnagyobb összeg 6n.

• Egy lehetséges módszer szerint három kocka összesen 3 lehet
• 3 módszer 4-re
• 6 az 5-re
• 10 6-ra
• 15 7-re
• 21 8-ra
• 25 9-re
• 27 10-re
• 27, 11-re
• 25 12-re
• 21 13-ra
• 15 14-re
• 10 for 15
• 6 a 16-ra
• 3 17-re
• 1 18-ra

Mint fentebb tárgyaltuk, három kocka esetén a lehetséges összegek tartalmazzák minden számot 3-tól 18-ig. A valószínűségeket a következők segítségével lehet kiszámítani: számlálási stratégiák és felismerve, hogy keressük a számok pontosan három egész számra osztásának módját. Például a három összeg megszerzésének egyetlen módja a 3 = 1 + 1 + 1. Mivel az egyes szerszámok függetlenek a többiektől, például négy összeget lehet elérni három különböző módon:

• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1

További számláló érvek felhasználhatók a többi összeg kiszámításának hány módszerére. Az egyes összegek partíciói a következők:

• 3 = 1 + 1 + 1
• 4 = 1 + 1 + 2
• 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
• 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
• 7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
• 8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
• 9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
• 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
• 11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
• 12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
• 13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
• 14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
• 15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
• 16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
• 17 = 6 + 6 + 5
• 18 = 6 + 6 + 6

Ha három különböző szám alkotja a partíciót, például 7 = 1 + 2 + 4, akkor 3 van! (3x2x1) különböző módon permutálási ezeket a számokat. Tehát ez a mintaterület három kimenetelének számít. Ha két különböző szám alkotja a partíciót, akkor három különféle módon lehet permutálni ezeket a számokat.

Az egyes összegek megszerzésének teljes számát elosztjuk a mintaterületvagy 216. Az eredmények:

• 3 összeg valószínűsége: 1/216 = 0,5%
• 4 összeg valószínűsége: 3/216 = 1,4%
• 5-ös összeg valószínűsége: 6/216 = 2,8%
• 6 összeg valószínűsége: 10/216 = 4,6%
• 7 összeg valószínűsége: 15/216 = 7,0%
• 8-os összeg valószínűsége: 21/216 = 9,7%
• 9 összeg valószínűsége: 25/216 = 11,6%
• 10 összeg valószínűsége: 27/216 = 12,5%
• 11 összeg valószínűsége: 27/216 = 12,5%
• 12-es összeg valószínűsége: 25/216 = 11,6%
• A 13-as összeg valószínűsége: 21/216 = 9,7%
• 14 összeg valószínűsége: 15/216 = 7,0%
• 15 összeg valószínűsége: 10/216 = 4,6%
• 16-os összeg valószínűsége: 6/216 = 2,8%
• 17 összeg valószínűsége: 3/216 = 1,4%
• 18 összeg valószínűsége: 1/216 = 0,5%

Mint látható, a 3 és 18 szélsőséges értékei a legkevésbé valószínűek. A legvalószínűbb az, hogy pontosan a közepén vannak az összegek. Ez megegyezik azzal, amit megfigyeltünk, amikor két kocka gördült.