A hullámok matematikai tulajdonságai

Fizikai hullámok, vagy mechanikai hullámok, közeg rezgésén keresztül alakulnak ki, legyen az egy húr, a földkéreg, vagy a gázok és folyadékok részecskéi. A hullámok olyan matematikai tulajdonságokkal rendelkeznek, amelyek elemezhetők a hullám mozgásának megértéséhez. Ez a cikk bemutatja ezeket az általános hullámtulajdonságokat, nem pedig azt, hogyan lehet azokat alkalmazni a fizika adott helyzeteiben.

Kétféle mechanikus hullám létezik.

A olyan, hogy a közeg elmozdulása merőleges (keresztirányú) a hullám közeg mentén történő haladási irányához. A húr periodikus mozgásban történő rezgése, így a hullámok mentén mozognak, keresztirányú hullám, akárcsak az óceán hullámai.

A hosszanti hullám A közeg elmozdulása előre-hátra ugyanabban az irányban halad, mint maga a hullám. A hanghullámok, ahol a levegő részecskék haladnak a haladási irányba, példa a hosszanti hullámra.

Annak ellenére, hogy a cikkben tárgyalt hullámok közegben történő utazásra vonatkoznak, az itt bemutatott matematika felhasználható a nem mechanikus hullámok tulajdonságainak elemzésére. Az elektromágneses sugárzás például képes áthaladni az üres térben, de ennek ellenére matematikai tulajdonságai megegyeznek, mint a többi hullámnak. Például a

1. A hullámok zavarnak tekinthetők a közegben az egyensúlyi állapot körül, amely általában nyugalomban van. Ennek a zavarnak az energiája okozza a hullámmozgást. A vízmedence egyensúlyban van, ha nincs hullám, de amint egy kő dobódik bele, a részecskék egyensúlya megszakad és a hullámmozgás megkezdődik.
2. A hullám zavara elmozdul, vagy propogates, meghatározott sebességgel, a hullámsebesség (v).
3. A hullámok energiát szállítanak, de nem számít. Maga a közeg nem utazik; az egyes részecskék előre-hátra vagy fel és le mozognak az egyensúlyi helyzet körül.

A hullámmozgás matematikai leírására az a fogalmára hivatkozunk hullám függvény, amely bármikor leírja a részecske helyzetét a közegben. A hullámfunkciók legalapvetőbb eleme a szinusz vagy szinuszos hullám, amely a időszakos hullám (azaz egy ismétlődő mozgással rendelkező hullám).

Fontos megjegyezni, hogy a hullámfüggvény nem a fizikai hullámot ábrázolja, hanem inkább az egyensúlyi helyzet körüli elmozdulás grafikonja. Ez zavaró fogalom lehet, de a hasznos dolog az, hogy szinuszos hullámot használhatunk a legtöbb periódusos ábrázolásra. mozgások, például körben történő mozgatás vagy inga lengése, amelyek nem feltétlenül néznek hullámszerűen, amikor a tényleges mozgás.

• hullámsebesség (v) - a hullám terjedésének sebessége
• amplitúdó (A) - az egyensúlytól való elmozdulás maximális nagysága, SI-méter egységekben. Általában ez a távolság a hullám egyensúlyi középpontjától a maximális elmozdulásig, vagy a hullám teljes elmozdulásának fele.
• időszak (T) - egy hullámciklus ideje (két impulzus, vagy a gerinctől a címerig vagy a vályútól a mélypontig), másodperces SI egységekben (bár ezt "ciklusonként másodpercnek" lehet hívni).
• frekvencia (f) - a ciklusok száma egységenként. Az SI frekvenciaegysége a hertz (Hz) és a

  1 Hz = 1 ciklus / s = 1 s^-1

• szögfrekvencia (ω) - 2π a frekvencia szorzata, másodpercenként a radián SI egységében.
• hullámhossz (λ) - a két pont közötti távolság a hullám egymást követő ismétlésein a megfelelő pozíciókban, tehát (például) a gerincről vagy a vályúról a másikra SI egységek méter.
• hullámszám (k) - más néven terjedési állandó, ezt a hasznos mennyiséget 2-nek kell meghatározni π osztva a hullámhosszal, tehát az SI-egységek radián / méter.
• impulzus - egy fél hullámhossz, az egyensúly vissza

Néhány hasznos egyenlet a fenti mennyiségek meghatározásában:

v = λ / T = λ f

ω = 2 π f = 2 π/T

T = 1 / f = 2 π/ω

k = 2π/ω

ω = vk

Egy pont függőleges helyzete a hullámon, y, a vízszintes helyzet függvényében található, x, és az idő, t, amikor megnézzük. Köszönjük a kedves matematikusoknak, hogy ezt a munkát elvégezték értünk, és a következő hasznos egyenleteket szerezzük a hullámmozgás leírására:

y(x, t) = A bűn ω(t - x/v) = A 2. bűnπ f(t - x/v)

y(x, t) = A 2. bűnπ(t/T - x/v)

y (x, t) = A bűn (. t - kx)

A hullámfüggvény utolsó jellemzője az alkalmazás számítás A második derivátum levételekor a hullámagyenlet, amely érdekes és néha hasznos termék (amelyet ismét megköszönni fogunk a matematikusoknak és elfogadjuk anélkül, hogy bizonyítanánk):

d²y / dx² = (1 / v²) d²y / dt²

A második származéka y vonatkozásában x ekvivalens a y vonatkozásában t osztva a hullámsebesség négyzetével. Ennek az egyenletnek a legfontosabb hasznossága az bármikor előfordul, tudjuk, hogy a funkció y hullámként működik hullámsebességgel v és ezért, a helyzet leírható a hullámfüggvény segítségével.