Kétdimenziós kinematika: mozgás síkon

Ez a cikk felvázolja a tárgyak mozgásának két dimenzióban történő elemzéséhez szükséges alapvető fogalmakat, tekintet nélkül az erőkre, amelyek a gyorsulást okozzák. Például az ilyen típusú problémákra lehet labdát dobni vagy ágyúgömböt lőni. Feltételezi, hogy ismeri a egydimenziós kinematika, mivel ugyanazokat a fogalmakat kibővíti egy kétdimenziós vektortérbe.

A kinematika magában foglalja az elmozdulást, a sebességet és a gyorsulást vektormennyiségek amelyek nagyságát és irányát egyaránt megkövetelik. Ezért egy probléma elindításához a kétdimenziós kinematikában először meg kell határoznia a koordináta-rendszer amit használsz. Általában ez egy x-axi és a y-axis, oly módon orientált, hogy a mozgás pozitív irányba történjen, bár lehet, hogy vannak olyan körülmények, amikor ez nem a legjobb módszer.

Azokban az esetekben, amikor a gravitációt figyelembe veszik, szokás, hogy a gravitációs irányt negatívy irány. Ez egy olyan konvenció, amely általában leegyszerűsíti a problémát, bár a számításokat más irányban is elvégezhetjük, ha igazán szeretné.

A helyzetvektor r egy vektor, amely a koordináta-rendszer eredetétől a rendszer adott pontjáig megy. A helyzetváltozás (Δr, kiejtve "Delta r") a kezdőpont (r₁) a végponthoz (r₂). Meghatározzuk a átlagos sebesség (v_av) mint:

v_av = (r₂ - r₁) / (t₂ - t₁) = Δr/Δt

A határt Δ-ként kell figyelembe vennit megközelíti a 0 értéket, elérjük a pillanatnyi sebességv. Számításban ez a következő származéka r vonatkozásában tvagy dr/dt.

Ahogy az időbeli különbség csökken, a kiindulási és a végpont közelebb kerül egymáshoz. Mivel az irányt r ugyanaz az irány, mint a v, világossá válik, hogy a pillanatnyi sebességvektor az út minden pontján érintõ az úthoz.

A vektormennyiségek hasznos tulajdonsága az, hogy fel lehet bontani komponensvektorukba. Egy vektor származéka a komponenseinek származékainak összege, tehát:

v_x = dx/dt
v_y = dy/dt

A sebességvektor nagyságát a Pythagorai tétel adja a következő formában:

|v| = v = sqrt (v_x² + v_y²)

Az irány v orientált alfa fokkal az óramutató járásával ellentétes irányban a x-komponens, és a következő egyenlettel számolható ki:

Cser alfa = v_y / v_x

Gyorsulás a sebesség változása egy adott időszak alatt. A fenti elemzéshez hasonlóan azt találtuk, hogy Δv/Δt. Ennek határa Δt 0 megközelítésekor a v vonatkozásában t.

Komponensek szempontjából a gyorsulási vektor a következőképpen írható:

egy_x = dv_x/dt
egy_y = dv_y/dt

vagy

egy_x = d²x/dt²
egy_y = d²y/dt²

A nagyság és a szög (jelölve: beta megkülönböztetni a alfa) a nettó gyorsulási vektor kiszámítását olyan összetevőkkel kell végezni, amelyek hasonlóak a sebességhez.

A kétdimenziós kinematika gyakran magában foglalja a releváns vektorok bebontását x- és y-komponenseket, majd mindegyik komponenst elemezve úgy, mintha egydimenziós esetek lennének. Miután ez az elemzés befejeződött, a sebesség és / vagy gyorsulás komponenseit ezután újra összevonják, hogy megkapják a kapott kétdimenziós sebesség- és / vagy gyorsulási vektorokat.

A fenti egyenletek mind a mozgáshoz három dimenzióban kibővíthetők a Z-komponens az elemzéshez. Ez általában meglehetősen intuitív, bár némi gondot kell fordítani annak ellenőrzésére, hogy a megfelelő formátumban történjen-e, különös tekintettel a vektor tájolásszögének kiszámítására.

Szerkesztette Anne Marie Helmenstine, Ph. D.