Vektormatematika: Alapvető, de átfogó bevezetés

Ez egy alapvető, bár remélhetőleg meglehetősen átfogó bevezetés a vektorokkal folytatott munkába. A vektorok sokféle módon manifesztálódnak, az elmozdulástól, sebességtől és gyorsulástól az erőkig és a mezőkig. Ez a cikk a vektorok matematikájáról szól; alkalmazásukat konkrét helyzetekben másutt veszik figyelembe.

A vektor mennyiségvagy vektor, információkat nyújt nemcsak a mennyiség nagyságáról, hanem a mennyiség irányáról is. Amikor útmutatást ad egy háznak, nem elég azt mondani, hogy 10 mérföldre van, hanem a 10 mérföld irányát is meg kell adni, hogy az információ hasznos legyen. Azokat a változókat, amelyek vektorok, félkövér változóval jelöljük, bár gyakori, hogy a változó felett kis nyilakkal jelölt vektorokat látunk.

Ahogy nem mondjuk azt, hogy a másik ház 10 mérföldre van, egy vektor nagysága mindig pozitív szám, vagy inkább a vektor "hosszának" abszolút értéke (bár a a mennyiség nem lehet hosszúság, lehet sebesség, gyorsulás, erő stb.) A vektor előtti negatív nem a nagyság változását, hanem a vektor.

A fenti példákban a távolság a skaláris mennyiség (10 mérföld), de elmozdulás a vektormennyiség (10 mérföldre északkeletre). Hasonlóképpen, a sebesség skaláris mennyiség, míg a sebesség a vektor Mennyiség.

A egységvektor egy olyan vektor, amelynek egy nagysága egy. Az egységvektort ábrázoló vektor általában félkövér, de karátos (^), hogy jelezze a változó egység jellegét. Az egységvektor x, amikor karattával írják, általában "x-hat" -ként kell értelmezni, mert a karát úgy néz ki, mint egy kalap a változón.

Az nulla vektorvagy null vektor, egy nulla nagyságrendű vektor. Írta: 0 ebben a cikkben.

A vektorok általában egy koordinátarendszerre irányulnak, amelyek közül a legnépszerűbb a kétdimenziós derékszögű sík. A derékszögű síknak van egy vízszintes tengelye, amelyet x jelöl, és függőleges tengelyét, amelynek jelölése x. A vektorok néhány fejlett alkalmazása a fizikában háromdimenziós teret igényel, amelynek tengelyei x, y és z. Ez a cikk elsősorban a kétdimenziós rendszerrel foglalkozik, bár a fogalmak kis gond nélkül három dimenzióra kibővíthetők.

A többdimenziós koordinátarendszerekben lévő vektorokat fel lehet bontani komponensvektorok. A kétdimenziós esetben ez a X-komponens és a y-komponens. Ha egy vektort az alkotóelemeire bont, a vektor az összetevők összege:

F = F_x + F_y

thetaF_xF_yF

F_x / F = cos theta és F_y / F = bűn thetaami ad nekünk
F_x = F kötözősaláta theta és F_y = F bűn theta

Vegye figyelembe, hogy az itt megadott számok a vektorok nagyságrendjét mutatják. Tudjuk, hogy az összetevők milyen irányban vannak, de megpróbáljuk megtalálni azok nagyságát, ezért eltávolítjuk az irányinformációkat és elvégezzük ezeket a skaláris számításokat a nagyság kiszámításához. A trigonometria további alkalmazása felhasználható más összefüggések (például az érintő) felkutatására e mennyiségek közül néhány között, de szerintem ez már elég.

Sok éve az egyetlen matematika, amelyet a hallgató megtanul, a skaláris matematika. Ha 5 mérföldre északra és 5 mérföldre keletre halad, akkor 10 mérföld van megtett. Skaláris mennyiségek hozzáadása figyelmen kívül hagyja az irányokkal kapcsolatos összes információt.

A vektorokkal kissé másképp manipulálnak. Az irányt mindig figyelembe kell venni, amikor manipulálják őket.

Két vektor hozzáadásakor úgy tűnik, mintha a vektorokat elvette volna, és a végükhöz helyezte, és létrehoz egy új vektort, amely a kiindulási ponttól a végpontig fut. Ha a vektorok azonos irányba mutatnak, akkor ez csak azt jelenti, hogy hozzáadjuk a magnitúdót, de ha eltérő irányuk van, akkor bonyolultabbá válhat.

A vektorokat úgy osztja fel, hogy felbontja őket összetevőikbe, majd hozzáadja az összetevőket az alábbiak szerint:

egy + b = c
egy_x + egy_y + b_x + b_y =
( egy_x + b_x) + ( egy_y + b_y) = c_x + c_y

A két x-komponens az új változó x-komponensét eredményezi, míg a két y-komponens az új változó y-komponensét eredményezi.

A vektorok hozzáadásának sorrendje nem számít. Valójában a skalár addícióból származó számos tulajdonság érvényes a vektor addícióra:

A vektor-kiegészítés azonosító tulajdonsága
egy + 0 = egy
A vektor-kiegészítés inverz tulajdonsága
egy + -egy = egy - egy = 0
A vektor-kiegészítés fényvisszaverő tulajdonsága
egy = egy
Kommutációs tulajdonság a vektor kiegészítés
egy + b = b + egy
A vektor-kiegészítés társult tulajdonsága
(egy + b) + c = egy + (b + c)
A vektor-kiegészítés átmeneti tulajdonsága
Ha egy = b és c = b, azután egy = c

A legegyszerűbb művelet, amelyet elvégezhetünk egy vektoron, az, hogy megszorozzuk azt skalárral. Ez a skaláris szorzás megváltoztatja a vektor nagyságát. Más szavakkal, hosszabbá vagy rövidebbé teszi a vektort.

Ha negatív skalár szorzatát megszorozzuk, a kapott vektor az ellenkező irányba mutat.

Az skaláris termék A két vektor felhasználása egy módja annak, hogy megszorozzuk őket, hogy skaláris mennyiséget kapjunk. Ezt a két vektor szorzataként írják le, és a közepén egy pont jelöli a szorzást. Mint ilyen, gyakran nevezik pont termék két vektor.

Két vektor pont szorzatának kiszámításához vegye figyelembe a szöget közöttük. Más szavakkal, ha ugyanazzal a kiindulási ponttal rendelkeznek, akkor mi lenne a szögmérés (theta) közöttük. A ponttermék meghatározása a következő:

egy * b = ab kötözősaláta theta

abAbba

Olyan esetekben, amikor a vektorok merőlegesek (vagy theta = 90 fok), cos theta nulla lesz. Ebből adódóan, a merőleges vektorok pont szorzata mindig nulla. Amikor a vektorok vannak párhuzamos (vagy theta = 0 fok), cos theta 1, tehát a skaláris szorzat csak a nagyságok szorzata.

Ezek a kis apró tények felhasználhatók annak bizonyítására, hogy ha ismeri az összetevőket, a (kétdimenziós) egyenlettel teljes mértékben kiküszöbölheti a teta szükségességét:

egy * b = egy_x b_x + egy_y b_y

Az vektor termék az űrlapon van megírva egy x b, és általában nevezik kereszt termék két vektor. Ebben az esetben a vektorokat megszorozzuk, és nem a skaláris mennyiséget, hanem egy vektormennyiséget kapunk. Ez a legdrágább a vektorszámítások közül, amelyekkel foglalkozni fogunk, ahogy van nem kommutációs és magában foglalja a rettegett felhasználását jobb oldali szabály, amivel hamarosan megismerem.

Ismét két, ugyanazon pontról, szöggel húzott vektort tekintünk theta közöttük. Mindig a legkisebb szöget vesszük, tehát theta mindig 0 és 180 közé esik, és az eredmény tehát soha nem lesz negatív. A kapott vektor nagyságát a következőképpen határozzuk meg:

Ha c = egy x b, azután c = ab bűn theta

A párhuzamos (vagy antiparallel) vektorok vektor terméke mindig nulla

A vektorterület merőleges lesz a két vektorból létrehozott síkra. Ha a síkot az asztalra síkként ábrázolja, akkor felmerül a kérdés, hogy a kapott vektor megy-e felfelé (az asztalunk "ki" a mi perspektívaból) vagy lefelé (vagy "az asztalhoz", az asztalunkból) szempontból).

Ennek kitalálásához alkalmaznia kell az úgynevezett jobb oldali szabály. Amikor az iskolában fizikát tanultam, én utált a jobb oldali szabály. Minden alkalommal, amikor használtam, ki kellett húznom a könyvet, hogy felkutassam, hogyan működött. Remélem, hogy a leírásom egy kicsit intuitívabb, mint amiben bemutattam.

Ha van egy x b jobb kezét fogod tenni a b úgy, hogy az ujjai (kivéve a hüvelykujját) hajlamosak legyenek a mutatóra egy. Más szavakkal, Ön valamilyen módon próbálja megcsinálni a szöget theta a jobb kezed tenyér és négy ujja között. A hüvelykujj ebben az esetben egyenesen felfelé lesz tapadva (vagy a képernyőn kívül, ha megpróbálja a számítógép felé tenni). A csuklóid nagyjából fel vannak sorolva a két vektor kiindulási pontjával. A pontosság nem elengedhetetlen, de szeretném, ha megkapja az ötletet, mivel nincs képem erről.

Ha azonban fontolgatja b x egy, az ellenkezőjét fogja tenni. Akkor jobb kezed fogod egy és mutatja az ujjait b. Ha megpróbálja ezt megtenni a számítógép képernyőjén, lehetetlennek találja, ezért használja a képzeletét. Megállapítja, hogy ebben az esetben a képzeletbeli hüvelykujja a számítógép képernyőjére mutat. Ez az eredményül kapott vektor iránya.

A jobb oldali szabály a következő kapcsolatot mutatja:

egy x b = - b x egy

CABC

c_x = egy_y b_Z - egy_Z b_y
c_y = egy_Z b_x - egy_x b_Z
c_Z = egy_x b_y - egy_y b_x

abc_xc_yc

Magasabb szinteken a vektorok rendkívül bonyolultan működhetnek együtt. A főiskolai teljes kurzusok, mint például a lineáris algebra, sok időt szentelnek a mátrixoknak (amelyeket szívesen elkerültem ebben a bevezetésben), a vektorok és a vektor terek. Ez a részletgazdagság meghaladja a cikk alkalmazási körét, de ennek meg kell adnia az alapokat a fizika osztálytermében végzett vektormanipulációk többségéhez. Ha a fizikát mélyebben kívánja tanulmányozni, akkor az oktatás folyamán megismerkednek a bonyolultabb vektor fogalmakkal.