Az középső Az adatsor egy középpontja, ahol az adatértékek pontosan fele kevesebb vagy egyenlő a mediánnal. Hasonló módon gondolkodhatunk az a folyamatosValószínűségi eloszlás, hanem ahelyett, hogy az adatkészletben a középértéket találnánk, a disztribúció közepét másképp találjuk meg.
A valószínűségi sűrűségfüggvény teljes területe 1, 100% -ot képvisel, és ennek eredményeként ennek fele felének vagy 50% -ának felel meg. A matematikai statisztikák egyik legfontosabb gondolata, hogy a valószínűséget a görbe alatti terület képviseli sűrűségfüggvényt, amelyet egy integrál számít, és így a folytonos eloszlás mediánja a pont az valós szám vonal, ahol a terület pontosan fele fekszik balra.
Ezt tömörebben a következő nem megfelelő integrál határozhatja meg. A folyamatos véletlen változó mediánja x sűrűségfüggvénnyel f( x) az M érték, így:
0.5=∫m−∞f(x)dx
Az exponenciális eloszlás mediánja
Most kiszámoljuk az Exp (A) exponenciális eloszlás mediánját. Az ilyen eloszlású véletlen változó sűrűségfüggvényt mutat
f(x) = e-x/ A/ A x bármilyen nemnegatív valós szám. A funkció a következőket tartalmazza: matematikai állandó e, megközelítőleg 2,71828-tal egyenlő.Mivel a valószínűségi sűrűségfüggvény nulla minden negatív értéknél x, csak annyit kell tennünk, hogy integráljuk a következőket és megoldjuk M-re:
0,5 = ∫0M f (x) dx
Mivel az integrál ∫ e-x/ A/ A dx = -e-x/ A, az eredmény:
0,5 = -e-M / A + 1
Ez azt jelenti, hogy 0,5 = e-M / A és miután átvetjük az egyenlet mindkét oldalának természetes logaritmusát, rendelkezünk:
ln (1/2) = -M / A
Mivel 1/2 = 2-1, a logaritmus tulajdonságai szerint írjuk:
- ln2 = -M / A
Ha mindkét oldalát megszorozzuk A-val, akkor azt az eredményt kapjuk, hogy az M = A ln2 medián.
A statisztikák középértékű egyenlőtlensége
Ennek az eredménynek az egyik következtetését meg kell említeni: az Exp (A) exponenciális eloszlásának átlaga A, és mivel az ln2 kevesebb, mint 1, az következik, hogy az Aln2 termék kisebb, mint A. Ez azt jelenti, hogy az exponenciális eloszlás mediánja kisebb, mint az átlag.
Ennek akkor van értelme, ha a valószínűségi sűrűségfüggvény grafikonjára gondolunk. A hosszú farok miatt ez az eloszlás jobbra van ferdítve. Sokszor, amikor az eloszlás jobbra van ferdítve, az átlag a medián jobb oldalán van.
A statisztikai elemzés szempontjából ez azt jelenti, hogy gyakran megjósolhatjuk, hogy az átlag és a medián nem közvetlenül összeegyeztethető, tekintettel annak valószínűségére, hogy az adatok jobbra torzulnak, és ez kifejezhető közép-közti egyenlőtlenség bizonyítékként ismert, mint Chebyshev egyenlőtlensége.
Példaként vegye figyelembe egy olyan adatkészletet, amely szerint egy személy összesen 30 látogatót fogad 10 óra alatt, ahol a látogató átlagos várakozási ideje 20 perc, míg az adatok azt mutathatják, hogy a medián várakozási idő valahol 20 és 30 perc között lenne, ha a látogatók több mint fele az első öt órák.