Mi a negatív binomiális eloszlás?

A negatív binomiális eloszlás a Valószínűségi eloszlás amelyet diszkrét véletlen változókkal használunk. Ez a fajta terjesztés a próbák számát érinti, amelyeknek előzetesen meghatározott számú sikert kell elérniük. Mint látni fogjuk, a negatív binomiális eloszlás a binomiális eloszlás. Ezenkívül ez az eloszlás általánosítja a geometriai eloszlást.

Először azzal a beállítással és azokkal a körülményekkel foglalkozunk, amelyek negatív binomiális eloszlást eredményeznek. Ezen feltételek közül sok nagyon hasonlít a binomiális beállításra.

1. Van egy Bernoulli-kísérlet. Ez azt jelenti, hogy minden általunk végrehajtott próba jól definiált sikerrel és kudarccal rendelkezik, és ez csak az eredmény.
2. A siker valószínűsége állandó, függetlenül attól, hogy hányszor hajtjuk végre a kísérletet. Ezt az állandó valószínűséget a-val jelöljük o.
3. A kísérletet megismételjük x független vizsgálatok, vagyis az egyik vizsgálat kimenetele nincs hatással a későbbi vizsgálat eredményére.

Ez a három feltétel megegyezik a binomiális eloszlás feltételeivel. A különbség az, hogy egy binomiális véletlen változónak rögzített számú kísérlete van

A negatív binomiális eloszlás a kísérletek számát érinti x aminek meg kell történnie, amíg nincs r sikereket. A szám r egy egész szám, amelyet választunk, mielőtt megkezdenénk a kísérleteket. A véletlen változó x továbbra is diszkrét. Most azonban a véletlenszerű változó értéke lehet X = r, r + 1, r + 2,... Ez a véletlen változó számíthatatlanul végtelen, mivel tetszőleges hosszú időbe telik, amíg megkapjuk r sikereket.

A negatív binomiális eloszlás értelmezéséhez érdemes megfontolni egy példát. Tegyük fel, hogy lecsúsztatunk egy tisztességes érmét, és feltesszük a kérdést: "Mennyire valószínű, hogy három fejet kapunk az elsőben? x Coin flips? "Ez egy olyan helyzet, amely negatív binomiális eloszlást igényel.

Az érmelapoknak két lehetséges kimenetele van, a siker valószínűsége állandó 1/2, és a kísérletek függetlenek egymástól. Arra kérjük a valószínűséget, hogy az első három fej után kapjuk meg x érme megfordul. Így legalább háromszor el kell fordítanunk az érmét. Ezután tovább flippelünk, amíg a harmadik fej meg nem jelenik.

A negatív binomiális eloszláshoz kapcsolódó valószínűségek kiszámításához további információkra van szükségünk. Tudnunk kell a valószínűségi tömegfüggvényt.

A negatív binomiális eloszlás valószínűségi tömegfüggvényét kissé átgondolva lehet kidolgozni. Minden próba valószínűsítheti a sikert o. Mivel csak két lehetséges eredmény lehetséges, ez azt jelenti, hogy a kudarc valószínűsége állandó (1 - p ).

Az rA sikernek meg kell történnie a xA harmadik és az utolsó próba. Az előző x - 1 kísérletnek pontosan tartalmaznia kell r - 1 sikereket. Az ilyen módszerek számát a kombinációk száma adja:

C (x - 1, r -1) = (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!].

Ezen felül független események vannak, és így valószínűségeinket együtt megsokszorozhatjuk. Mindezt összekapcsolva megkapjuk a valószínűségi tömeg függvényt

f(x) = C (x - 1, r -1) p^r(1 - p)^{x - r}.

Most meg tudjuk érteni, hogy ennek a véletlen változónak miért van negatív binomiális eloszlása. A fenti kombinációk számát beállítással különféleképpen lehet írni x - r = k:

(x - 1)! / [(r - 1)! (x - r)!] = (x + k - 1)! / [(R - 1)! k!] = (r + k - 1)(x + k - 2)... (r + 1) (r) /k! = (-1)^k(-r) (- r - 1).. (- r - (k + 1) / k !.

Itt láthatjuk egy negatív binomiális együttható megjelenését, amelyet akkor használunk, ha egy binomiális kifejezést (a + b) negatív erőre emelünk.

Az eloszlás átlagát fontos tudni, mert ez az egyik módja az eloszlás központjának jelölésére. Az ilyen típusú véletlenszerű változó átlagát a várt érték adja, és egyenlő: r / p. Ezt gondosan be tudjuk bizonyítani a pillanat-generáló függvény erre a disztribúcióra.

Az intuíció ezen a kifejezésen is vezet. Tegyük fel, hogy egy próba sorozatot hajtunk végre n₁ amíg meg nem szerezzük r sikereket. És akkor újra megcsináljuk, csak ez időbe telik n₂ vizsgálatokban. Folytatjuk ezt újra és újra, amíg nagyszámú kísérleti csoport nem lesz N = n₁ + n₂ +... +n_k.

Mindegyik k a vizsgálatok tartalmaznak r sikereket, és így összesen van kr sikereket. Ha N nagy, akkor számíthatunk rá np sikereket. Így ezeket egyenértékűnek tekintjük és megvan kr = Np.

Csinálunk néhány algebrát, és megtaláljuk N / k = r / p. Ennek az egyenletnek a bal oldalán lévő töredék az egyes vizsgálatokhoz szükséges átlagos kísérleti szám k kísérleti csoportok. Más szavakkal: a kísérlet elvégzésének várható száma, hogy összesen legyen r sikereket. Pontosan ezt az elvárást találjuk meg. Látjuk, hogy ez megegyezik a képlettel r / p.

A negatív binomiális eloszlás szórása a nyomaték-generáló függvény felhasználásával is kiszámítható. Amikor ezt megtesszük, látjuk, hogy ennek az eloszlásnak a varianciáját a következő képlet adja meg:

r (1 - p)/p²

Az ilyen típusú véletlenszerű változókat létrehozó funkció meglehetősen bonyolult. Emlékezzünk arra, hogy a pillanat-generáló függvényt az elvárt E [e^tx]. Ha ezt a meghatározást a valószínűségi tömegfüggvényünkkel használjuk:

M (t) = E [e^tx] = Σ (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!] E^txp^r(1 - p)^{x - r}

Néhány algebra után ez M (t) = (pe^t)^r[1- (1- p) e^t]^-r

A fentiekben láthattuk, hogy a negatív binomiális eloszlás sok szempontból hasonlít a binomiális eloszláshoz. Ezen kívül a negatív binomiális eloszlás a geometriai eloszlás általánosabb változata.

Geometriai véletlen változó x kiszámolja a szükséges kísérletek számát, mielőtt az első siker megtörténne. Könnyű belátni, hogy pontosan ez a negatív binomiális eloszlás, de az r egyenlő egyvel.

A negatív binomiális eloszlás más formulációi is léteznek. Néhány tankönyv meghatározza x a vizsgálatok száma a r hibák fordulnak elő.

Vizsgálunk egy példaproblémát, hogy megtudjuk, hogyan kell kezelni a negatív binomiális eloszlást. Tegyük fel, hogy egy kosárlabda játékos 80% -ban szabadon dob. Tegyük fel továbbá, hogy egy szabad dobás független a következőtől. Mi a valószínűsége annak, hogy ennek a játékosnak a nyolcadik kosarat a tizedik szabaddobásra készítik?

Látjuk, hogy megvan a beállítás a negatív binomiális eloszláshoz. A siker állandó valószínűsége 0,8, tehát a kudarc valószínűsége 0,2. Meg akarjuk határozni az X = 10 valószínűségét, ha r = 8.

A következő értékeket bekapcsoljuk a valószínűségi tömegfüggvénybe:

f (10) = C (10-1, 8-1) (0,8)⁸(0.2)²= 36(0.8)⁸(0.2)², ami körülbelül 24%.

Megkérdezhetnénk tehát, hogy mekkora az átlagosan leadott szabad dobások száma, mielőtt ez a játékos nyolcot teljesít. Mivel a várt érték 8 / 0,8 = 10, ez a felvételek száma.