A Chi-Square eloszlás maximális és inflexiós pontjai

Matematikai statisztikák a matematika különböző ágainak technikáit használja annak bizonyítására, hogy a statisztikákkal kapcsolatos állítások igazak. Látni fogjuk, hogyan lehet a kalkulust felhasználni a fent említett értékek meghatározására a chi-négyzet eloszlás, amely megfelel annak módjára, valamint megtalálja a terjesztés.

Mielőtt ezt megtenné, megvitatjuk a maximumok és az inflexiós pontok jellemzőit. Megvizsgáljuk azt a módszert is, amely a maximális inflexiós pontokat kiszámítja.

Diszkrét adatkészlet esetén az üzemmód a leggyakrabban előforduló érték. Az adatok hisztogramján ezt a legmagasabb oszlop képviseli. Amint megismerjük a legmagasabb sávot, megvizsgáljuk az adat értékét, amely megfelel ennek a sávnak az alapjához. Ez az üzemmód az adatkészletünkhöz.

Ugyanezt az elvet használják a folyamatos disztribúcióval való munka során. Ezúttal az üzemmód megtalálásához a disztribúció legmagasabb csúcsát keressük. Az eloszlás grafikonján a csúcs magassága y érték. Ezt az y értéket gráfunk maximumának nevezzük, mert az érték nagyobb, mint bármely más y érték. Az üzemmód a vízszintes tengely mentén megjelenő érték, amely megfelel ennek a maximális y-értéknek.

Noha egyszerűen megnézhetjük egy eloszlás grafikonját, hogy megtaláljuk a módot, van néhány probléma ezzel a módszerrel. Pontosságunk csak annyira jó, mint a gráfunk, és valószínűleg becsülnünk kell. Ezenkívül nehézségeket okozhat a függvény ábrázolása.

Alternatív módszer, amely nem igényel grafikont, a kalkulus használata. Az általunk alkalmazott módszer a következő:

1. Kezdje a valószínűségi sűrűség függvénnyel f (x) a forgalmazáshoz.
2. Számítsa ki az első és a második származékok ennek a funkciónak: f '(x) és f ''(x)
3. Állítsa ezt az első deriváltot nullára f '(x) = 0.
4. Oldja meg x.
5. Csatlakoztassa az előző lépés értékét / értékeit a második származékhoz és értékelje. Ha az eredmény negatív, akkor van egy helyi maximum x értéken.
6. Értékelje f (x) az összes ponton x az előző lépésből.
7. Értékelje a valószínűségi sűrűségfüggvényt a támogatás bármely végpontján. Tehát ha a függvénynek tartománya van a zárt intervallumban [a, b], akkor értékelje a függvényt a végpontokon egy és b.
8. A 6. és 7. lépésben a legnagyobb érték a függvény abszolút maximuma. Az x érték, ahol ez a maximális előfordul, az eloszlás módja.

Most átlépjük a fenti lépéseket a chi-négyzet eloszlás módjának kiszámításához r fokú szabadság. A valószínűségi sűrűségfüggvénnyel kezdjük f(x), amely megjelenik a cikkben található képen.

f (x) = K x^{R / 2-1}e^{-x / 2}

Itt K egy állandó, amely magában foglalja a gamma funkció és 2 teljesítmény. Nem kell tudnunk a sajátosságokat (ezekre azonban hivatkozhatunk a képen található képletben).

Ennek a függvénynek az első származékát a: használatával kapjuk termékszabály valamint a láncszabály:

f '( x ) = K (r / 2 - 1)x^{R / 2-2}e^{-x / 2} - (K / 2) x^{R / 2-1}e^{-x / 2}

Ezt a deriváltot nullával állítjuk be, és a jobb oldali kifejezést tényezővel vesszük figyelembe:

0 = K x^{R / 2-1}e^{-x / 2} [(r / 2 - 1)x^-1- 1/2]

Mivel az állandó K, az exponenciális függvény és x^{R / 2-1} mind nulla, akkor az egyenlet mindkét oldalát megoszthatjuk ezekkel a kifejezésekkel. Ezután:

0 = (r / 2 - 1)x^-1- 1/2

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát 2-del:

0 = (r - 2)x^-1- 1

Így 1 = (r - 2)x^-1és arra következtetünk, hogy van x = r - 2. Ez az a pont a vízszintes tengely mentén, ahol az üzemmód megtörténik. Ez jelzi a x a chi-négyzet eloszlás csúcsának értéke.

A görbe másik jellemzője a görbület módja. Egy görbe egyes részei homorúak lehetnek, mint az U nagybetű. A görbék le vannak homorítva és egy alakúak is lehetnek útkereszteződés szimbólum ∩. Ahol a görbe konkávról lefelé konkávra változik, vagy fordítva van egy fordítási pont.

A függvény második derivációja detektálja a függvény gráfjainak homorúságát. Ha a második származék pozitív, akkor a görbe konkáv. Ha a második származék negatív, akkor a görbe konkáv. Amikor a második derivátum nulla és a függvény gráfja megváltoztatja a konkávot, akkor van egy inflexiós pont.

A gráf inflexiós pontjainak megtalálásához:

1. Számítsa ki függvényünk második deriváltját f ''(x).
2. Állítsa ezt a második deriváltot nullára.
3. Oldja meg az előző lépés egyenletét x.

Most meglátjuk, hogyan kell végrehajtani a fenti lépéseket a chi-négyzet eloszláshoz. Először megkülönböztetéssel kezdjük. A fenti munka alapján láttuk, hogy funkciónk első származéka:

f '(x) = K (r / 2 - 1) x^{R / 2-2}e^{-x / 2} - (K / 2) x^{R / 2-1}e^{-x / 2}

Újra megkülönböztetjük a termékszabályt kétszer. Nekünk van:

f ''( x ) = K (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{R / 2-3}e^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1)x^{R / 2-2}e^{-x / 2} + (K / 4) x^{R / 2-1}e^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1) x^{R / 2-2}e^{-x / 2}

Ezt nullával egyenlővé tesszük, és mindkét oldalt elosztjuk Ke^{-x / 2}

0= (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{R / 2-3}- (1/2) (r / 2 - 1)x^{R / 2-2}+ (1/ 4) x^{R / 2-1}- (1/ 2)(r/2 - 1) x^{R / 2-2}

A hasonló kifejezések kombinálásával:

(r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{R / 2-3}- (r / 2 - 1)x^{R / 2-2}+ (1/ 4) x^{R / 2-1}

Szorozzuk meg mindkét oldalt 4-gyelx^{3 - r / 2}, ez ad nekünk:

0 = (r - 2) (r - 4) - (2r - 4)x+ x^2.

A másodfokú képlet felhasználható megoldásra x.

x = [(2r - 4) +/- [(2r - 4)² - 4 (r - 2) (r - 4)]^1/2]/2

Bővítjük a kifejezéseket, amelyek az 1/2-es teljesítményre vonatkoznak, és a következőket látják:

(4r² -16r + 16) - 4 (r² -6r + 8) = 8r - 16 = 4 (2r - 4)

Ez azt jelenti:

x = [(2r - 4) +/- [(4 (2r - 4)]^1/2] / 2 = (r - 2) +/- [2r - 4]^1/2

Ebből látjuk, hogy két inflexiós pont van. Ezenkívül ezek a pontok szimmetrikusak az eloszlás módja szempontjából, mivel (r - 2) félúton van a két inflexiós pont között.

Látjuk, hogy mindkét tulajdonság kapcsolódik a szabadságfokok számához. Ezt az információt felhasználhatjuk a chi-négyzet eloszlás vázlatának megtervezéséhez. Ezt a megoszlást másokkal is összehasonlíthatjuk, mint például a normál eloszlás. Láthatjuk, hogy a chi-négyzet eloszlás inflexiós pontjai eltérő helyeken fordulnak elő, mint a fordulópontok a normál eloszláshoz.