Az asszociatív és komutációs tulajdonságok

Számos matematikai tulajdonságot használnak statisztika és valószínűség; ezek közül kettő, a kommutív és asszociatív tulajdonságok általában összefüggésben áll a egészek, ésszerű és valós számok, bár a fejlettebb matematikában is megjelennek.

Ezek a tulajdonságok - a kommutív és az asszociatív - nagyon hasonlóak és könnyen összekeverhetők. Ezért fontos megérteni a kettő közötti különbséget.

A kommutációs tulajdonság bizonyos matematikai műveletek sorrendjét érinti. Egy bináris műveletnél - amely csak két elemet foglal magában - ezt az a + b = b + a egyenlettel lehet megmutatni. A művelet kommutív, mert az elemek sorrendje nem befolyásolja a művelet eredményét. Az asszociatív tulajdonság viszont az elemek csoportosítására vonatkozik egy művelet során. Ezt az (a + b) + c = a + (b + c) egyenlettel lehet megmutatni. Az elemek csoportosítása, amelyet a zárójelek mutatnak, nem befolyásolja az egyenlet eredményét. Vegye figyelembe, hogy amikor a kommutációs tulajdonságot használják, az egyenletben az elemek vannak

Egyszerűen fogalmazva: a kommutációs tulajdonság kijelenti, hogy az egyenlet tényezői szabadon átrendezhetők az egyenlet kimenetelének befolyásolása nélkül. A kommutációs tulajdonság tehát a műveletek sorrendjére vonatkozik, beleértve a valós számok, egész számok és racionális számok összeadását és szorzását.

Például a 2, 3 és 5 számokat bármilyen sorrendben össze lehet tenni anélkül, hogy a végső eredményt befolyásolnák:

2 + 3 + 5 = 10

3 + 2 + 5 = 10

5 + 3 + 2 = 10

A számokat bármilyen sorrendben megsokszorozhatjuk a végső eredmény befolyásolása nélkül:

2 x 3 x 5 = 30

3 x 2 x 5 = 30

5 x 3 x 2 = 30

A kivonás és a felosztás azonban nem olyan műveletek, amelyek kommutáltak lehetnek, mivel a műveletek sorrendje fontos. A fenti három szám nem tudpéldául bármilyen sorrendben vonható le a végső érték befolyásolása nélkül:

2 - 3 - 5 = -6

3 - 5 - 2 = -4

5 - 3 - 2 = 0

Ennek eredményeként a kommutációs tulajdonság az a + b = b + a és a x b = b x a egyenletekkel fejezhető ki. Nem számít ezekben az egyenletekben az értékek sorrendje, az eredmények mindig azonosak lesznek.

Az asszociatív tulajdonság szerint a tényezők csoportosítása egy műveletben megváltoztatható anélkül, hogy befolyásolná az egyenlet eredményét. Ez kifejezhető az a + (b + c) = (a + b) + c egyenlettel. Nem számít, melyik értékpárt hozzáadja az egyenlethez először, az eredmény ugyanaz lesz.

Vegyük például a 2 + 3 + 5 egyenletet. Nem számít az értékek csoportosítása, az egyenlet eredménye 10 lesz:

(2 + 3) + 5 = (5) + 5 = 10

2 + (3 + 5) = 2 + (8) = 10

A kommutációs tulajdonsághoz hasonlóan az asszociatív műveletek példái között szerepel a valós számok, egész számok és racionális számok összeadása és szorzása. A kommutációs tulajdonsággal ellentétben az asszociatív tulajdonság a mátrixszorzásra és a függvényösszetételre is alkalmazható.

A kommutációs tulajdonság egyenletekhez hasonlóan az asszociatív tulajdonság egyenletek sem tartalmazhatják a valós számok kivonását. Vegyük például a számtani feladatot (6 - 3) - 2 = 3 - 2 = 1; ha megváltoztatjuk a zárójelek csoportosítását, akkor 6 - (3 - 2) = 6 - 1 = 5 van, amely megváltoztatja az egyenlet végső eredményét.

Meg tudjuk mondani a különbséget az asszociatív és a kommutációs tulajdonság között, ha feltesszük a kérdést: „Megváltoztatjuk-e a rendjét az elemek, vagy megváltoztatjuk az elemek csoportosítását? ” Ha az elemeket átrendezik, akkor a kommutációs tulajdonság alkalmazandó. Ha az elemeket csak átcsoportosítják, akkor az asszociatív tulajdonság érvényes.

Ugyanakkor vegye figyelembe, hogy önmagában a zárójel jelenléte nem feltétlenül jelenti az asszociatív tulajdonság alkalmazását. Például:

(2 + 3) + 4 = 4 + (2 + 3)

Ez az egyenlet a valós számok hozzáadásának kommutációs tulajdonságaira mutat példát. Ha azonban alapos figyelmet fordítunk az egyenletre, látjuk, hogy csak az elemek sorrendje megváltozott, nem pedig a csoportosítás. Az asszociatív tulajdonság alkalmazásához az elemek csoportosítását is át kellett rendeznünk:

(2 + 3) + 4 = (4 + 2) + 3