Csengő görbék megjelenik az egész statisztikában. A változatos mérések, mint például a vetőmag átmérője, a halak hosszai, a SAT pontszáma és az egyes papírlapok súlyai, ha görbe vannak, mind haranggörbéket képeznek. Ezen görbék általános alakja azonos. De ezek a görbék különböznek, mivel nagyon valószínűtlen, hogy egyikük ugyanazzal az átlaggal vagy szórással rendelkezzen. A nagy szórású haranggörbék szélesek, a kis szórások haranggörbéi soványak. A nagyobb átlagú haranggörbék jobbra tolódnak el, mint a kisebb átlagok.
Egy példa
Hogy ezt kicsit konkrétabbá tegyük, úgy teszünk, mintha 500 kukoricamag átmérőjét megmérjük. Ezután ezeket az adatokat rögzítjük, elemezzük és ábrázoljuk. Megállapítást nyert, hogy az adatkészlet haranggörbe alakú, és átlagának 1,2 cm-nek kell lennie, 0,4 cm-es szórással. Tegyük fel, hogy ugyanezt csináljuk 500 babbal, és azt találjuk, hogy átlagos átmérőjük 0,8 cm, 0,04 cm-es szórással.
Mindkét adatkészlet haranggörbéit a fenti ábra ábrázolja. A piros görbe megfelel a kukorica adatainak, a zöld görbe pedig a bab adatainak. Mint láthatjuk, e két görbe középpontja és terjedése eltérő.
Ez egyértelműen két különböző haranggörbe. Különbözőek, mert eszközeik és standard eltérések nem egyezik. Mivel minden érdekes adatkészletnek standard eltéréssel lehet bármilyen pozitív száma, és bármilyen számot jelenthet egy átlaghoz, valójában csak egy végtelen csengőgörbék száma. Ez nagyon sok görbe és túl sok ahhoz, hogy foglalkozni tudjunk vele. Mi a megoldás?
Egy nagyon különleges haranggörbe
A matematika egyik célja a dolgok általánosítása, amikor csak lehetséges. Időnként több egyedi probléma az egyetlen probléma különleges esete. Ez a haranggörbékkel járó helyzet ezt jól szemlélteti. Ahelyett, hogy végtelen számú haranggörbével foglalkoznánk, mindegyiket egyetlen görbéhez kapcsolhatjuk. Ezt a speciális haranggörbét szokásos haranggörbenek vagy szokásos normál eloszlásnak nevezzük.
A standard haranggörbe nulla átlaga és standard eltérése egy. Bármely más haranggörbét a standard segítségével lehet összehasonlítani a egyszerű számítás.
A normál normál eloszlás jellemzői
Bármelyik haranggörbe minden tulajdonsága megtartja a normál normál eloszlást.
- A normál normál eloszlásnak nemcsak nulla átlaga van, hanem mediánja és nulla módja is. Ez a görbe középpontja.
- A normál normál eloszlás tükörszimmetriát mutat nullán. A görbe fele nullától balra, a görbe fele pedig jobbra van. Ha a görbét függőleges vonal mentén nullára hajtják, mindkét fél tökéletesen illeszkedik.
- A normál normál eloszlás a 68-95-99.7 szabályt követi, amely egyszerű módszert kínál a következők becslésére:
- Az összes adat körülbelül 68% -a -1 és 1 között van.
- Az összes adat körülbelül 95% -a -2 és 2 között van.
- Az összes adat körülbelül 99,7% -a -3 és 3 között van.
Miért érdekel?
Ezen a ponton feltehetjük a kérdést: „Miért zavarhatnánk a szabványos csengőgörbét?” Ez szükségtelen komplikációnak tűnhet, de a standard csengőgörbe előnyös lesz, ha folytatjuk a statisztikákat.
Azt fogjuk tapasztalni, hogy a statisztikák egyik típusú problémája megköveteli, hogy találjunk területeket a felmerülő csengőgörbe egyes részei alatt. A haranggörbe nem szép alak a területeken. Nem olyan, mint egy téglalap vagy derékszögű háromszög hogy könnyű terület képletek. A haranggörbe egyes részeinek területeinek megkeresése nehézkes lehet, valójában olyan nehéz, hogy valamilyen kalkulust kell használnunk. Ha nem szabványosítjuk a haranggörbeinket, minden alkalommal el kell végeznünk néhány számítást, amikor egy területet akarunk találni. Ha egységesítjük a görbéket, akkor a terület kiszámításának minden munkáját elvégeztük nekünk.