Halmazelmélet számos különféle műveletet használ az új halmazkészítéshez a régiból. Számosféle módon lehet kiválasztani egyes elemeket az adott halmazokból, miközben másokat kizár. Az eredmény általában egy készlet, amely különbözik az eredetitől. Fontos, hogy jól definiált módszerek álljanak rendelkezésre ezeknek az új halmazoknak a felépítéséhez, amelyek példái között szerepel a unió, útkereszteződésés két halmaz különbsége. Egy olyan műveletet, amely talán kevésbé ismert, szimmetrikus különbségnek nevezzük.
Szimmetrikus különbség meghatározása
A szimmetrikus különbség meghatározásának megértéséhez először meg kell értenünk a „vagy” szót. Bár a 'vagy' szó kicsi, kétféleképpen használható az angol nyelven. Lehet exkluzív vagy befogadó (és csak ebben a mondatban használták). Ha azt mondják nekünk, hogy választhatunk A vagy B közül, és az értelme kizárólagos, akkor a két lehetőség közül csak egy lehet. Ha az értelme befogadó, akkor lehet, hogy van A, lehet B, vagy lehet mind A, mind B.
Általában a kontextus irányít bennünket, amikor szembeszállunk a szóval, vagy pedig nem is kell gondolnunk, hogy milyen módon használják. Ha azt kérdezik tőlünk, szeretnénk-e tejszínt vagy cukrot?
kávé, egyértelműen azt sugallja, hogy lehet mindkettőnk. A matematikában el akarjuk kerülni a kétértelműségeket. Tehát a 'vagy' szónak a matematikában inkluzív értelme van.A „vagy” szót tehát az unió meghatározásában befogadó értelemben használjuk. Az A és B halmazok uniója az A vagy B elemek halmaza (beleértve azokat az elemeket, amelyek mindkét halmazban vannak). Érdemes lesz egy olyan halmazművelet, amely az A vagy B elemeket tartalmazó halmazt konstruálja, ahol 'vagy' kizárólagos értelemben használják. Ezt hívjuk szimmetrikus különbségnek. Az A és B halmaz szimmetrikus különbsége az A vagy B elem, de az A és B nem egyaránt. Noha a jelölés a szimmetrikus különbségtől függ, addig írjuk ezt A ∆ B
A szimmetrikus különbség példájára a halmazokat vesszük figyelembe A = {1,2,3,4,5} és B = {2,4,6}. A halmazok közötti szimmetrikus különbség {1,3,5,6}.
Az egyéb meghatározott műveletek szempontjából
Más szett műveletek felhasználhatók a szimmetrikus különbség meghatározására. A fenti meghatározásból egyértelmű, hogy az A és B szimmetrikus különbségét kifejezhetjük az A és B unió különbségeként, valamint A és B metszéspontjának különbségeként. Szimbólumokban azt írjuk: A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B).
Egy ekvivalens kifejezés, néhány különböző halmaz művelettel segít megmagyarázni a név szimmetrikus különbségét. A fenti összetétel helyett a szimmetrikus különbséget az alábbiak szerint írhatjuk: (A - B) ∪ (B - A). Itt ismét látjuk, hogy a szimmetrikus különbség az elemek halmaza A-ban, de nem B-ben, vagy B-ben, de nem A-ban. Így kizártuk ezeket az elemeket A és B metszéspontjában. Matematikailag bizonyítható, hogy ez a két képlet egyenértékű és ugyanazon halmazra vonatkozik.
A név szimmetrikus különbsége
A név szimmetrikus különbsége két csoport különbségével való összefüggést sugall. Ez a különbség mindkét fenti képletben nyilvánvaló. Mindegyikben két halmaz különbségét számították ki. Ami a szimmetrikus különbséget különbözteti a különbségtől, az a szimmetria. Építésével az A és B szerepe megváltozhat. Ez nem igaz a két készlet közötti különbségre.
Ennek hangsúlyozására csak egy kis munkával láthatjuk a szimmetrikus különbség szimmetriáját, mióta látjuk A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A) = (B - A) ∪ (A - B) = B ∆ A.