Mi az a valószínűség, amelyet éppen belélegzett Lincoln utolsó lélegzetének egy részébe?

Lélegezzen be, majd lélegezzen ki. Mi a valószínűsége annak, hogy legalább egy olyan anyag, amelyet belélegzett, az egyik Abraham Lincoln utolsó lélegzetének molekulája volt? Ez egy jól meghatározott esemény, és így van valószínűsége. A kérdés az, milyen valószínű ez? Álljon meg egy pillanatra, és gondolja át, hogy mely szám ésszerűnek hangzik, mielőtt továbbolvassa.

Kezdjük néhány feltevés azonosításával. Ezek a feltevések segítik a valószínűség kiszámításának bizonyos lépéseinek igazolását. Feltételezzük, hogy Lincoln több mint 150 évvel ezelőtti halála óta a legutóbbi lélegzete molekulái egyenletesen oszlanak el az egész világon. A második feltételezés az, hogy ezeknek a molekuláknak a többsége továbbra is a légkör része, és képesek belélegezni.

Érdemes megjegyezni, hogy a két feltevés a legfontosabb, nem pedig az a személy, akinek feltesszük a kérdést. Lincoln helyére Napóleon, Gengis Khan vagy Joan of Arc válhatna. Amíg elegendő idő telik el egy ember utolsó légzésének diffundálásához, és ahhoz, hogy az utolsó légzés elkerülje a környező légkört, a következő elemzés érvényes.

Kezdje egy molekula kiválasztásával. Tegyük fel, hogy összesen A levegőmolekulák a világ légkörében. Tegyük fel továbbá, hogy vannak B levegőmolekulák, amelyeket Lincoln a levegőjében kilégzett. Valami által egyenruha Feltételezés szerint annak a valószínűsége, hogy egyetlen levegőmolekula, amelyet belélegzel, a Lincoln utolsó lélegzetének része volt B/A. Ha összehasonlítjuk az egyetlen lélegzet mennyiségét a légkör térfogatával, látjuk, hogy ez nagyon kicsi a valószínűsége.

Ezután a kiegészítés szabály. Az a valószínűség, hogy egy adott molekula, amelyet belélegzel, nem része a Lincoln utolsó lélegzetének, 1 - B/A. Ez a valószínűség nagyon nagy.

Eddig csak egy adott molekulát vettünk figyelembe. A végső lélegzet azonban sok levegőmolekulát tartalmaz. Így több molekulát tekintünk a szorzási szabály.

Ha két molekulát belélegzünk, akkor annak a valószínűsége, hogy egyik sem volt része Lincoln utolsó lélegzetének:

(1 - B/A)(1 - B/A) = (1 - B/A)²

Ha három molekulát belélegzünk, akkor annak a valószínűsége, hogy egyik sem volt része Lincoln utolsó lélegzetének:

(1 - B/A)(1 - B/A)(1 - B/A) = (1 - B/A)³

Általában, ha belélegzünk N molekula, annak a valószínűsége, hogy egyik sem volt része a Lincoln utolsó lélegzetének:

(1 - B/A)^N.

Újra használjuk a kiegészítési szabályt. Annak valószínűsége, hogy legalább egy molekula kilép N kilégzte Lincoln:

1 - (1 - B/A)^N.

Csak annyit kell tennie, hogy becsülje meg az értékeket A, B és N.

Az átlagos lélegzet térfogata körülbelül 1/30 liter, ami 2,2 x 10-nek felel meg²² molekulákat. Ez értéket ad nekünk mindkettő számára B és N. Körülbelül 10 van⁴⁴ molekulák a légkörben, adva nekünk értéket A. Amikor ezeket az értékeket beillesztjük a képletünkbe, akkor 99% -ot meghaladó valószínűséggel járunk.

Minden egyes lélegzetünk szinte biztos, hogy legalább egy molekulát tartalmaz az Abraham Lincoln utolsó levegőjéből.