Amikor foglalkozik halmazelmélet, számos műveletre van szükség a régi készletek elkészítéséhez. Az egyik leggyakoribb halmazműveletet metszéspontnak nevezik. Egyszerűen fogalmazva, két halmaz metszéspontja A és B az összes elem halmaza, amely mindkettő A és B közös.
A kereszteződés részleteit megvizsgáljuk a halmazelméletben. Mint látni fogjuk, a kulcsszó itt a "és" szó.
Egy példa
Példa arra, hogy miként alakul ki két halmaz metszete a új készlet, nézzük meg a készleteket A = {1, 2, 3, 4, 5} és B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Ennek a két halmaznak a metszéspontjához meg kell találnunk, hogy mely elemek vannak közösek. A 3, 4, 5 számok mindkét halmaz elemei, tehát a metszéspontjai A és B {3. 4. 5].
Jelölés a keresztezéshez
A meghatározott elméleti mûveletekkel kapcsolatos fogalmak megértése mellett fontos, hogy képes legyen olvasni ezeket a mûveleteket jelölő szimbólumokat is. Az metszéspont szimbólumát néha két sor között a „és” szó helyettesíti. Ez a szó javasolja a tipikusan használt kereszteződés kompaktabb jelölését.
A két készlet metszéspontjában használt szimbólum A és B által adva A ∩ B. Az egyik módja annak, hogy emlékezzünk arra, hogy ez a symbol jel kereszteződésre utal, ha észreveszi annak hasonlóságát egy A nagybetűvel, amely rövid az "és" szóra.
Ennek a jelölésnek a működéséhez lásd a fenti példát. Itt volt a készleteink A = {1, 2, 3, 4, 5} és B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Így írnánk a beállított egyenletet A ∩ B = {3, 4, 5}.
Kereszteződés az üres készlettel
Az egyik alapvető identitás, amely magában foglalja a kereszteződést, megmutatja nekünk, hogy mi történik, ha bármely halmaz metszéspontját vesszük az üres készlettel, amelyet # 8709 jelöl. Az üres készlet az elemek nélküli készlet. Ha legalább egy olyan elemnek nincs eleme, amelyben megpróbáljuk megtalálni a metszéspontot, akkor a két halmaznak nincs közös eleme. Más szavakkal, bármely halmaz metszéspontja az üres készlet ad nekünk az üres készlet.
Ez az identitás még kompaktabbá válik jelölésünk használatával. Megvan a személyazonosságunk: A ∩ ∅ = ∅.
Kereszteződés az univerzális készlettel
A másik végpont esetében mi történik, ha megvizsgáljuk egy halom és az univerzális halmaz metszéspontját? Hasonló ahhoz, hogy a szó világegyetem a csillagászatban mindent jelent, az univerzális készlet minden elemet tartalmaz. Ebből következik, hogy készletünk minden eleme az univerzális készlet eleme. Így bármely halmaz és az univerzális halmaz metszéspontja az a halmaz, amivel kezdtük.
Megjegyzésünk ismét arra szólít fel, hogy ezt az identitást tömörebben fejezzük ki. Bármely készlethez A és az univerzális készlet U, A ∩ U = A.
Egyéb metszetekben részt vevő személyiségek
Sokkal több olyan egyenlet létezik, amelyek magukban foglalják a kereszteződés műveletét. Természetesen mindig jó gyakorlat a meghatározott elmélet nyelvét használva. Minden készlethez Aés B és D nekünk van:
- Reflexív tulajdonság: A ∩ A =A
- Kommutációs tulajdonság: A ∩ B = B ∩ A
- Társulási tulajdon: (A ∩ B) ∩ D =A ∩ (B ∩ D)
- Forgalmazó ingatlan: (A ∪ B) ∩ D = (A ∩ D)∪ (B ∩ D)
- A DeMorgan I. törvénye: (A ∩ B)C = AC ∪ BC
- A DeMorgan II. Törvénye: (A ∪ B)C = AC ∩ BC