Sokszor a statisztika Fontos kapcsolatot létesíteni a különböző témák között. Látunk egy példát erre, amelyben a regressziós vonal meredeksége közvetlenül kapcsolódik a korrelációs együttható. Mivel ezek a fogalmak egyaránt egyenes vonalúak, természetesen felteszik a kérdést: "Hogyan működik a korrelációs együttható és legkisebb négyzet összefüggő?"
Először nézzünk meg néhány hátteret mindkét téma kapcsán.
Részletek a korrelációval kapcsolatban
Fontos, hogy emlékezzünk a korrelációs együtthatóra vonatkozó részletekre, amelyeket a jelöl r. Ezt a statisztikát akkor használjuk, ha párosulunk mennyiségi adatok. A szétszórtan párosított adatok, megnézhetjük az adatok általános eloszlási tendenciáit. Egyes párosított adatok lineáris vagy egyenes mintát mutatnak. De a gyakorlatban az adatok soha nem esnek pontosan egyenes vonalba.
Több ember ugyanazt nézi szórásgörbe a párosított adatok nem értenek egyet abban, hogy milyen közel állnak az általános lineáris trend mutatásához. Végül is erre vonatkozó kritériumaink kissé szubjektív lehetnek. Az általunk használt skála befolyásolhatja az adatok felfogását is. Ezen okokból és még több okból szükségünk van valamilyen objektív mérésre, hogy megmondjuk, mennyire közel állnak párosított adatuk lineárisak. A korrelációs együttható ezt elérheti számunkra.
Néhány alapvető tény a r a következők:
- Az értéke r bármely valós szám között -1 és 1 között lehet.
- Értékei r 0 közeli azt jelenti, hogy kevés vagy egyáltalán nincs kapcsolat az adatok között.
- Értékei r Az 1-eshez közeli pozitív lineáris kapcsolat mutatkozik az adatok között. Ez azt jelenti, hogy x növeli ezt y szintén növekszik.
- Értékei r -1 közeli azt jelenti, hogy negatív lineáris kapcsolat van az adatok között. Ez azt jelenti, hogy x növeli ezt y csökken.
A legkevesebb négyzet vonalának lejtője
A fenti lista utolsó két eleme a legjobban illeszkedő legkisebb négyzetek sorának lejtése felé mutat. Emlékezzünk arra, hogy egy vonal lejtése annak mérése, hogy hány egységet megy fel vagy le minden egyes egységnél, amelyet jobbra mozgatunk. Időnként ezt a vonal emelkedéseként osztják el a futással vagy a változással y értékeket osztva a változással x értékeket.
Általában az egyenes vonalának pozitív, negatív vagy nulla lejtője van. Ha megvizsgálnánk a legkisebb négyzet alakú regressziós vonalakat, és összevetnénk a r, észrevehetjük, hogy minden adatunkban van a negatív korrelációs együttható, a regressziós vonal lejtése negatív. Hasonlóképpen, minden alkalommal, amikor pozitív korrelációs együttható van, a regressziós vonal meredeksége pozitív.
Ebből a megfigyelésből nyilvánvalónak kell lennie, hogy van egy kapcsolat a korrelációs együttható jele és a legkisebb négyzetek vonalának meredeksége között. Meg kell magyarázni, hogy miért igaz ez.
A lejtő képlete
A. Érték közötti kapcsolat oka r és a legkisebb négyzetek vonalának meredeksége a képlettel függ össze, amely megadja nekünk ennek a vonalnak a meredekségét. Párosított adatok esetén (x, y) a szórás a x adatok szerint sx és a y adatok szerint sy.
A lejtő képlete egy a regressziós vonal értéke:
- a = r (sy/ sx)
A szórás kiszámításához a nemnegatív szám pozitív négyzetgyökét kell venni. Ennek eredményeként a meredekség képletének mindkét standard eltérésének nem negatívnak kell lennie. Ha feltételezzük, hogy adatunkban eltérések mutatkoznak, akkor figyelmen kívül hagyhatjuk annak a lehetőségét, hogy ezen szórások bármelyike nulla. Ezért a korrelációs együttható jele megegyezik a regressziós vonal lejtésének jelével.