Feltételes valószínűség: Jelölés és példák

Egy egyszerű példa erre feltételes valószínűség annak a valószínűsége, hogy a szokásos kártyacsomagból húzott kártya király. 52 kártya közül összesen négy király van, tehát a valószínűsége egyszerűen 4/52. Ehhez a számításhoz kapcsolódik a következő kérdés: "Mennyire valószínű, hogy királyt vonzunk? már húztunk egy kártyát a pakliból és ez egy ász? "Itt tekintjük meg a pakli tartalmát kártyákat. Még mindig négy király van, de most csak 51 kártya van a pakliban. A király húzásának valószínűsége, ha ászot már húztak, 4/51.

Feltételes valószínűség "egy esemény valószínűsége", ha egy másik esemény történt. Ha nevezzük ezeket az eseményeket A és B, akkor beszélhetünk a valószínűségéről A adott B. Utalhatnánk még a A attól függ B.

A feltételes valószínűség jelölése tankönyvönként változik. Az összes jelölésnél az a jelzés, hogy a valószínűség, amelyre hivatkozunk, egy másik eseménytől függ. Az egyik leggyakoribb jelölés a A adott B jelentése P (A | B). Egy másik megjelölés, amelyet használnak P_B(A).

Van egy képlet a feltételes valószínűségre, amely összekapcsolja ezt a valószínűséggel A és B:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)

Ez a képlet lényegében az esemény feltételes valószínűségének kiszámítására szolgál A adott az eseménynek B, úgy változtatjuk meg a mintaterületünket, hogy csak a készletből álljon B. Ennek során nem vesszük figyelembe az összes eseményt A, de csak a A amely szintén szerepel a B. Az imént leírt halmaz ismertté válhat útkereszteződés nak,-nek A és B.

Tudjuk használni algebra a fenti képlet más módon történő kifejezése:

P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)

Ezen információk fényében újra megvizsgáljuk a példát, amellyel kezdtük. Tudni akarjuk a király húzásának valószínűségét, mivel egy ász már húzott. Így az esemény A az, hogy királyt húzunk. Esemény B az, hogy húzzunk egy ászt.

Annak valószínűsége, hogy mindkét esemény megtörténik, és ászot húzunk, majd egy király felel meg P (A ∩ B) -nek. Ennek a valószínűségnek az értéke 12/2652. Az esemény valószínűsége B, az ász húzásakor 4/52. Ezért a feltételes valószínűségi képletet használjuk és látjuk, hogy egy ászból megadott király húzásának valószínűsége (16/2652) / (4/52) = 4/51.

Egy másik példaként a valószínűségi kísérletet vizsgáljuk meg dobj két kocka. Feltehetjük a kérdést: „Mennyire valószínű, hogy hármat dobtunk, ha kevesebb összeget dobtunk?”

Itt az esemény A az, hogy már dobtunk egy hármat, és az esemény B az, hogy kevesebb összeget fordítottunk, mint hat. Összesen 36 módszer van két kocka dobására. E 36 lehetőség közül tíz módon kevesebbet hajthatunk össze:

• 1 + 1 = 2
• 1 + 2 = 3
• 1 + 3 = 4
• 1 + 4 = 5
• 2 + 1 = 3
• 2 + 2 = 4
• 2 + 3 = 5
• 3 + 1 = 4
• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5

Vannak olyan esetek, amikor a A adott az eseménynek B egyenlő: A. Ebben a helyzetben azt mondjuk, hogy az események A és B függetlenek egymástól. A fenti képlet:

P (A | B) = P (A) = P (A ∩ B) / P (B),

és visszanyerjük azt a képletet, amely szerint független események esetén mindkettő valószínűsége A és B a következő események valószínűségének szorzásával nyerhető:

P (A ∩ B) = P (B) P (A)

Ha két esemény független, ez azt jelenti, hogy az egyik eseménynek nincs hatása a másikra. Az egyik érme, majd a másik megfordítása példa a független eseményekre. Az egyik érmelapításnak nincs hatása a másikra.

Légy nagyon óvatos, hogy azonosítsa, mely esemény függ egymástól. Általában P (A | B) nem egyenlő: P (B | A). Ez a valószínűsége A adott az eseménynek B nem ugyanaz, mint a B adott az eseménynek A.

A fenti példában azt láttuk, hogy két kocka gördítésekor a hármas gördülésének valószínűsége, ha kevesebb összeget dobtunk, 4/10 volt. Másrészről, mi a valószínűsége egy kevesebb összeg gördülésének, tekintve, hogy hármat dobtunk? A három és egynél kevesebb összeg gördülésének valószínűsége 4/36. Legalább egy három gördülésének valószínűsége 11/36. Tehát a feltételes valószínűség ebben az esetben (4/36) / (11/36) = 4/11.