Pillanatnyi generáló funkció a binomiális eloszláshoz

A véletlen változó átlaga és szórása x val,-vel binomiális valószínűség-eloszlás nehéz lehet közvetlenül kiszámítani. Noha világos lehet, hogy mit kell tenni a várható érték nak,-nek x és x², ezeknek a lépéseknek a tényleges végrehajtása az algebrai és az összegzések bonyolult zsonglőrje. Alternatív módszer az a átlagának és varianciájának meghatározására binomiális eloszlás az, hogy használja a pillanat-generáló függvény mert x.

Kezdje a véletlen változóval x és írja le a Valószínűségi eloszlás Pontosabban. teljesít n független Bernoulli-kísérletek, amelyek mindegyikének valószínűsége van a sikernek p és a hiba valószínűsége 1 - p. Így a valószínűségi tömegfüggvény

f (x) = C(n, x)p^x(1 – p)^{n - x}

Itt a kifejezés C(n, x) jelöli a n elemek venni x egy időben, és x felveheti a 0, 1, 2, 3, értékeket..., n.

Használja ezt a valószínűségi tömegfüggvényt a nyomatképző függvény kiszámításához x:

M(t) = Σ_{x = 0}ⁿe^TXC(n,x)>)p^x(1 – p)^{n - x}.

Világossá válik, hogy a kifejezéseket kombinálhatja a x:

M(t) = Σ_{x = 0}ⁿ (testnevelés^t)^xC(n,x)>)(1 – p)^{n - x}.

Ezenkívül a binomiális képlet alkalmazásával a fenti kifejezés egyszerűen:

M(t) = [(1 – p) + testnevelés^t]ⁿ.

Annak érdekében, hogy megtalálják a átlagos és a szórás, mindkettőt tudnia kell M”(0) és M’’(0). Kezdje a származék kiszámításával, majd mindegyikét értékelje t = 0.

Látni fogja, hogy a pillanatképző függvény első deriváltja:

M’(t) = n(testnevelés^t)[(1 – p) + testnevelés^t]^{n - 1}.

Ebből kiszámolhatja a valószínűség-eloszlás átlagát. M(0) = n(testnevelés⁰)[(1 – p) + testnevelés⁰]^{n - 1} = np. Ez megegyezik azzal a kifejezéssel, amelyet közvetlenül az átlag meghatározásából kaptunk.

A variancia kiszámítását hasonló módon végezzük. Először ismételje meg a pillanat-generáló függvény megkülönböztetését, majd ezt a származékot értékeli t = 0. Itt láthatod ezt

M’’(t) = n(n - 1)(testnevelés^t)²[(1 – p) + testnevelés^t]^{n - 2} + n(testnevelés^t)[(1 – p) + testnevelés^t]^{n - 1}.

Ennek a véletlenszerű változónak a varianciájának kiszámításához meg kell találnia M’’(t). Itt van M’’(0) = n(n - 1)p² +np. A σ szórás² a terjesztésed

σ² = M’’(0) – [M’(0)]² = n(n - 1)p² +np - (np)² = np(1 - p).

Noha ez a módszer némileg magában foglalja, nem olyan bonyolult, mint az átlag és a variancia közvetlenül a valószínűségi tömegfüggvényből történő kiszámítása.