A binomiális eloszlás várható értéke

Binomiális eloszlások a diszkrét fontos osztály valószínűségi eloszlások. Az ilyen típusú eloszlások egy sor n független Bernoulli-kísérletek, amelyek mindegyike állandó valószínűséggel rendelkezik p a siker. Mint minden valószínűség-eloszlásban, szeretnénk tudni, hogy mi az átlaga vagy középpontja. Erre valóban azt kérdezzük: „Mi az várható érték a binomiális eloszlás?

Ha alaposan gondolkodunk egy a binomiális eloszlás, ezt nem nehéz meghatározni az ilyen típusú valószínűség-eloszlás értéke jelentése np. Néhány gyors példához vegye figyelembe a következőket:

• Ha dobunk 100 érmét, és x a fejek száma, a várható érték x 50 = (1/2) 100.
• Ha feleletválasztós tesztet veszünk fel 20 kérdéssel, és minden kérdésnek négy választási lehetősége van (csak az egyik ami helyes), akkor a véletlenszerű kitalálás azt jelentené, hogy csak (1/4) 20 = 5 kérdést várunk el helyes.

Mindkét példában ezt látjuk E [X] = n p. Két eset aligha elégséges a következtetés levonásához. Bár az intuíció jó eszköz a bevezetéshez, nem elegendő egy matematikai érv megfogalmazása és annak igazolása, hogy valami igaz. Hogyan bizonyíthatjuk véglegesen, hogy ennek az eloszlásnak valóban várható értéke van?

A várható érték és a valószínűségi tömegfüggvény meghatározása alapján binomiális eloszlás nak,-nek n a siker valószínűségének vizsgálata p, megmutathatjuk, hogy intuíciónk megegyezik a matematikai szigorúság gyümölcsével. Munkánk során kissé óvatosnak és lendületesnek kell lennünk a binomiális együttható kezelésére, amelyet a kombinációk képlete ad.

A képlettel kezdjük:

E [X] = Σ _{X = 0}ⁿ x C (n, x) p^x(1-p)^{n - x}.

Mivel az összegzés egyes kifejezései szorozva vannak x, a kifejezés értéke, amely megfelel a x = 0 0 lesz, és így valójában írhatunk:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ x C (n, x) p ^x (1 - p) ^{n - x} .

A. Kifejezésben részt vevő tényezők manipulálásával C (n, x) átírhatjuk

x C (n, x) = n C (n - 1, x - 1).

Ez azért igaz, mert:

x C (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / (( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1, x - 1).

Ebből következik, hogy:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ n C (n - 1, x - 1) p ^x (1 - p) ^{n - x} .

Kigondoljuk a n és egy p a fenti kifejezésből:

E [X] = np Σ _{x = 1}ⁿ C (n - 1, x - 1) p ^{x - 1} (1 - p) ^{(n - 1) - (x - 1)} .

A változók változása r = x - 1 ad nekünk:

E [X] = np Σ _{r = 0}^{n - 1} C (n - 1, r) p ^r (1 - p) ^{(n - 1) - r} .

A binomiális képlet szerint (x + y)^k = Σ _{r = 0} ^kC (k, r) x^r y^{k - r} a fenti összegzést át lehet írni:

E [X] = (np) (p + (1 - p))^{n - 1} = np.

A fenti érv hosszú utat tett meg. A kezdetektől kezdve, csak a binomiális eloszlás várható értékének és valószínűségi tömegfüggvényének meghatározásával bizonyítottuk, amit az intuíciónk mondott nekünk. A binomiális eloszlásB (n, p) jelentése n p.