Mi a kalkulus? Meghatározás és gyakorlati alkalmazások

A kalkulus a matematika egyik ága, amely magában foglalja a változás ütemének tanulmányozását. A kalkulus feltalálása előtt az összes matematika statikus volt: csak a tökéletesen mozdulatlan tárgyak kiszámításához tudott segítséget nyújtani. De az univerzum folyamatosan mozog és változik. Semmi tárgy - az űrben lévő csillagoktól a szubatomi részecskékig vagy a test sejtjeinél - nem mindig nyugszik. Valójában csaknem minden az univerzumban folyamatosan mozog. A kalkulus segített meghatározni, hogy a részecskék, a csillagok és az anyag valóban miként mozognak és változnak valós időben.

A kalkulust számos olyan területen használják, amelyek általában nem gondolják, hogy használnák a fogalmakat. Közülük a fizika, a mérnöki munka, a gazdaság, a statisztika és az orvostudomány. A kalkulust olyan eltérő területeken is használják, mint az űrutazás, valamint annak meghatározására, hogy a gyógyszerek miként lépnek kölcsönhatásba a testtel, és még hogyan lehet biztonságosabb struktúrákat felépíteni. Meg fogja érteni, hogy a kalkulus miért olyan sok területen hasznos, ha tud egy kicsit a történelemről, valamint arról, hogy mit tervez és tesz.

Kulcsfontosságú elvetések: A kalkulus alaptétele

A kalkulust a 17. század második felében két matematikus, Gottfried Leibniz és Isaac Newton. Newton először kidolgozta a számológépet, és közvetlenül alkalmazta a fizikai rendszerek megértésére. Leibniz önállóan fejlesztette ki a számításban használt jelöléseket. Egyszerűen fogalmazva, míg az alapmatematika olyan műveleteket használ, mint pl. Plusz, mínusz, idő és osztás (+, -, x és ÷), a kalkulus olyan műveleteket használ, amelyek függvények és integrálok a változás mértékének kiszámításához.

Ezek az eszközök lehetővé tették Newtonnak, Leibniznek és más matematikusoknak, akik követik, hogy kiszámítsák a dolgokat, például egy görbe pontos lejtését bármely ponton. A matematika története elmagyarázza Newton számtani alapvető tételének fontosságát:

"A görögök statikus geometriájától eltérően a kalkulus megengedte a matematikusoknak és a mérnököknek, hogy értelmezzék a mozgás és dinamikus változás a körülöttünk lévő változó világban, például a bolygók keringése, a folyadékok mozgása, stb."

A kalkulus felhasználásával a tudósok, csillagászok, fizikusok, matematikusok és vegyészek most felvázolhatják a bolygók és csillagok pályáját, valamint az elektronok és protonok útját atomi szinten.

A kalkulusnak két ága van: a differenciál és az integrált kalkulus. "A differenciálszámítás tanulmányozza a derivált és integrált számításokat... az integrál" - jegyzi meg a Massachusetts Institute of Technology. De ennél több is van. A differenciálszámítás meghatározza a mennyiség változásának sebességét. Megvizsgálja a lejtők és görbék változásának sebességét.

Ez az ágazat a függvények változási sebességének tanulmányozásával foglalkozik a változóik vonatkozásában, különösen derivációk és differenciák alkalmazásával. A derivált egy vonal meredeksége egy grafikonon. A vonal meredekségét kiszámítja a emelkedik futás közben.

Integrált kalkulusezzel szemben azt a mennyiséget kívánja megtalálni, ahol a változás mértéke ismert. Ez az ág olyan fogalmakra összpontosít, mint az érintő vonalak és a sebességek lejtése. Míg a differenciálszámítás magára a görbére összpontosít, addig az integrált kalkulus a helyet vagy a területet érinti alatt a görbe. A teljes méret vagy érték, például hosszúság, terület és térfogat kiszámításához az integrált kalkulust kell használni.

A kalkulus szerves szerepet játszott a a navigáció fejlesztése században, mert ez lehetővé tette a tengerészeknek, hogy a hold helyzetét használják a helyi idő pontos meghatározására. A tengeri helyzetük ábrázolásához a navigátoroknak képesnek kell lenniük az idő és a szögek pontosságának mérésére. A kalkulus kifejlesztése előtt a hajózási navigátorok és a kapitányok sem tudtak volna csinálni.

A kalkulus - mind származékos, mind integrális - hozzájárult e fontos fogalom megértésének javításához a Föld görbe, a a távolságban lévő hajóknak egy görbe körül kellett haladniuk, hogy egy adott helyre juthassanak, sőt a Föld, a tengerek és a hajók a csillagok.

A Calculusnak számos gyakorlati alkalmazása van a valós életben. Néhány fogalmak, amelyek kalkulust használnak ide tartoznak a mozgás, az elektromosság, a hő, a fény, a harmonikák, az akusztika és a csillagászat. A Calculust használják földrajzban, számítógépes látásmódban (például autók autonóm vezetéséhez), fényképezésben, mesterséges intelligenciában, robotikában, videojátékokban és még filmekben is. A kalkulust arra is használják, hogy kiszámítsák a radioaktív bomlás sebességét a kémiában, sőt, hogy megjósolják a születési és halálozási arányokat, valamint a gravitáció és a bolygómozgás, a folyadékáramlás, a hajótervezés, a geometriai görbék és a hídtechnika tanulmányozása során.

Például a fizikában a kalkulust arra használják, hogy meghatározzák, megmagyarázzák és kiszámítsák a mozgást, az elektromosságot, a hőt, a fényt, a harmonikusokat, az akusztikát, a csillagászatot és a dinamikát. Einstein relativitáselmélete a kalkulusra támaszkodik, egy olyan matematikai területre, amely szintén segít a közgazdászoknak megjósolni, hogy a vállalat vagy az ipar mennyit profitálhat. És be hajógyártás, a kalkulust évek óta használják a hajótestének mindkét görbéjének meghatározására (a differenciálszám használatával) kalkulus), valamint a hajótest alatti területre (integrált kalkulus felhasználásával), és még a hajótest általános kialakításánál is hajókat.

Ezenkívül a kalkulus segítségével ellenőrizhetők a különböző matematikai tudományágak, például statisztikák, analitikai geometria és algebrai válaszok.

A közgazdászok a kalkulust használják a kínálat, a kereslet és a maximális potenciális profit előrejelzésére. A kínálatot és a keresletet elvileg egy görbén ábrázolják - és egy állandóan változó görbét.

A közgazdászok kalkulust használnak a kereslet árrugalmassága. Az állandóan változó kínálati és keresleti görbét "elasztikusnak", a görbe hatásait pedig "rugalmasságának" nevezik. Egy adott rugalmasság pontos mérésének kiszámításához Ha a kereslet és a kínálat görbéjére mutat, akkor végtelenül kis árváltozásokra kell gondolkodnia, és ennek eredményeként be kell építenie a matematikai származékokat rugalmasságába. képleteket. A kalkulus lehetővé teszi, hogy meghatározza a folyamatosan változó kínálati és keresleti görbe konkrét pontjait.

"Kalkulus-összefoglaló." Massachusetts Institute of Technology, 2000. január 10, Cambridge, MA.