A matematika és a statisztika során tudnunk kell, hogyan kell számolni. Ez különösen igaz egyesekre valószínűség problémákat. Tegyük fel, hogy összesen kapunk n megkülönböztetett tárgyakat és kiválasztani akar r tőlük. Ez közvetlenül érinti a kombinatorika néven ismert matematikai területet, amely a számolás tanulmányozása. A számítás két fő módja r tárgyak n Az elemeket permutációknak és kombinációknak nevezzük. Ezek a fogalmak szorosan kapcsolódnak egymáshoz és könnyen összetéveszthetők.
Mi a különbség a kombináció és a permutáció között? A legfontosabb ötlet a rend. Egy permutáció figyelmet fordít arra a sorrendre, amellyel kiválasztjuk objektumainkat. Ugyanazon objektumkészlet, de eltérő sorrendben különféle permutációkkal jár. Egy kombinációval továbbra is kiválasztjuk r objektumok összesen n, de a rendelést már nem veszik figyelembe.
Példa a permutációkra
Ezeknek az ötleteknek a megkülönböztetésére a következő példát vesszük figyelembe: hány permutáció van a készletből két betűből {a, b, c}?
Itt felsoroljuk az adott halmaz összes elemét, figyelembe véve a sorrendet. Összesen hat permutáció van. Mindezek felsorolása: ab, ba, bc, cb, ac és ca. Vegye figyelembe, hogy permutációkként ab és ba különböznek, mert egy esetben egy volt az első, a másikban egy második lett.
Példa a kombinációkra
Most megválaszoljuk a következő kérdést: hány kombináció van két betűvel a készletből {a, b, c}?
Mivel a kombinációkkal foglalkozunk, már nem érdekel a sorrend. Megoldhatjuk ezt a problémát úgy, hogy visszatekintjük a permutációkat, majd kiküszöböljük azokat, amelyek ugyanazokat a betűket tartalmazzák. Kombinációkként, ab és ba azonosnak tekintik. Tehát csak három kombináció létezik: ab, ac és bc.
képletek
Olyan helyzetekben, amikor nagyobb készletekkel találkozunk, túl időigényes az összes lehetséges permutáció vagy kombináció felsorolása és a végeredmény kiszámítása. Szerencsére vannak olyan képletek, amelyek megadják a permutációk vagy a kombinációk számát n tárgyakat r egy időben.
Ezekben a képletekben a rövidített jelölést használjuk n! hívott nfaktoriális. A tényező egyszerűen azt mondja, hogy minden pozitív egész számot megszorozzon kevesebbtel vagy azzal egyenlő n együtt. Tehát például 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Meghatározás szerint 0! = 1.
A permutációk száma n tárgyakat r egy időben a következő képlet adja meg:
P(n,r) = n!/(n - r)!
A kombinációk száma n tárgyakat r egy időben a következő képlet adja meg:
C(n,r) = n!/[r!(n - r)!]
Képletek a munkahelyen
Nézzük meg az eredeti példát, ha a képleteket munka közben szeretnénk megtekinteni. A három objektum halmazának permutációit egyszerre kettővel kell megadni P(3,2) = 3!/(3 - 2)! = 6/1 = 6. Pontosan megegyezik azzal, amit az összes permutáció felsorolásával kaptunk.
A három objektum halmazának kombinációinak számát kettőből egyidejűleg adja meg:
C(3,2) = 3!/[2!(3-2)!] = 6/2 = 3. Ez ismét pontosan megfelel annak, amit korábban láttunk.
A képletek határozottan megtakarítanak időt, amikor felkérést kapunk egy nagyobb halmaz permutációinak számára. Például hány permutáció létezik egy tíz objektumból, amelyek egyszerre háromból készülnek? Az összes permutáció felsorolása időbe telik, de a képletekkel látjuk, hogy lenne:
P(10,3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 x 9 x 8 = 720 permutáció.
Az alapvető ötlet
Mi a különbség a permutációk és a kombinációk között? A lényeg az, hogy egy rendeléssel járó helyzetek számolásakor permutációkat kell használni. Ha a sorrend nem fontos, akkor kombinációkat kell használni.