Hogyan derítsük ki a kombinációk képletet?

Miután látta a tankönyvbe nyomtatott vagy a táblára írt képleteket, néha meglepő hogy megtudja, hogy ezeknek a képleteknek nagy része származhat bizonyos alapvető meghatározásokból és alapos átgondolásból. Ez különösen igaz a valószínűségre, ha a kombinációs képletet vizsgáljuk. Ennek a képletnek a származtatása valójában csak a szorzás elvén nyugszik.

Tegyük fel, hogy van egy elvégzendő feladat, és ez a feladat összesen két lépésre oszlik. Az első lépést itt lehet megtenni k módok és a második lépés megtehető n módokon. Ez azt jelenti, hogy utána szaporodását Ezek a számok együttesen a feladat végrehajtásának számos módja van nk.

Például, ha tízféle fagylalt közül választhat, és három különféle öntetet közül választhat, hány kanálot, egy öntettel készíthet napraforgót? Szorozzuk meg három-zal 10-zel, hogy 30 lelőhelyet kapjunk.

Most a szorzás elvét használva derítsük ki a képletet a kombinációk számára r elemek sorozata n elemekkel. enged P (n, r) jelölje meg a

Gondoljon arra, hogy mi történik a permutáció kialakításával r elemek összesen n. Tekintse ezt kétlépéses folyamatként. Először válasszon egy sorozatot r elemek egy sorból n. Ez egy kombináció, és vannak C(n, r) ennek módjai. A folyamat második lépése a megrendelés r elemekkel r az első választás, r - 1 választás a másodikra, r - 2 a harmadik, 2 választás az utolsó és 1 az utolsó. A szorzási elv szerint vannak r x (r -1) x... x 2 x 1 = r! hogyan lehet ezt megtenni. Ez a képlet a tényező jelölés.

Összefoglalva: P(n,r ), a permutáció kialakításának számos módja r elemek összesen n meghatározza:

1. A következők kombinációjának kialakítása: r elemek összesen n bármelyikében C(n,r ) módokon
2. Ezek megrendelése r elemek bármelyike r! módokon.

A szorzás elve alapján a permutáció kialakításának módja számos P(n,r ) = C(n,r ) x r!.

A permutációk képletének felhasználása P(n,r ) = n!/(n - r)!, amely a fenti képletbe helyettesíthető:

n!/(n - r)! = C(n,r ) r!.

Most oldja meg ezt a kombinációk számát, C(n,r ), és nézze meg C(n,r ) = n!/[r!(n - r)!].

Amint azt demonstráltuk, egy kis gondolkodásmód és algebra messze haladhat. Más valószínűségi és statisztikai képletek származhatnak a definíciók óvatos alkalmazásával is.