Mik az ellenkező, a kontrapozitív és az inverz?

A feltételes kijelentések mindenütt jelennek meg. A matematikában vagy másutt nem kell sokáig tartani, hogy belemerüljünk a „If P azután Q.” A feltételes kijelentések valóban fontosak. Fontosak azok az állítások is, amelyek az eredeti feltételes állításhoz kapcsolódnak az P, Q és egy nyilatkozat tagadása. Egy eredeti állítással kezdve három új feltételes kijelentéssel zárulunk, amelyeket ellenkezőnek, kontrapozitívnak és fordítottja.

Mielőtt meghatároznánk egy feltételes állítás ellentmondásos, kontrapozitív és fordított értékét, meg kell vizsgálnunk a tagadás témáját. Minden nyilatkozat logika vagy igaz, vagy hamis. Egy állítás tagadása egyszerűen magában foglalja a „nem” szó beillesztését a nyilatkozat megfelelő részébe. A „nem” szó hozzáadása azért történik, hogy megváltoztassa az állítás igazságosságát.

Ez segít megnézni egy példát. A „The derékszögű háromszög egyenlő oldal "van tagadása:" A jobb oldali háromszög nem egyenlő oldal. " A „10 páros szám” tagadása a „10 nem páros szám” állítás. Természetesen erre Utolsó példaként használhatjuk a páratlan szám meghatározását, és ehelyett azt mondhatjuk, hogy „10 egy páratlan szám”. Megjegyezzük, hogy egy állítás valósága ellentétes az állítás valóságával tagadás.

Ezt az ötletet absztraktbb körülmények között vizsgáljuk meg. Amikor az állítás P igaz, a „nem PHamis. Hasonlóképpen, ha P hamis, tagadása „nemP" igaz. A tagadásokat általában tilde ~ jelöli. Tehát ahelyett, hogy írt volna: „nem PTudunk írni ~P.

Most meghatározhatjuk a feltételes állítás ellentmondását, kontrapozitivitását és inverzét. A „If P azután Q.”

• A feltételes állítás fordítottja: „Ha Q azután P.”
• A feltételes állítás kontrapozitív: „Ha nem Q akkor nem P.”
• A feltételes állítás fordítottja: „Ha nem P akkor nem Q.”

Példaként láthatjuk, hogyan működnek ezek az állítások. Tegyük fel, hogy azzal a feltételes állítással kezdjük, hogy „Ha tegnap este esett, akkor a járda nedves”.

• A feltételes állítás ellentéte a következő: „Ha a járda nedves, akkor tegnap este esett.”
• A feltételes állítás kontrapozitív: "Ha a járda nem nedves, akkor nem esett tegnap este."
• A feltételes állítás fordítottja: "Ha tegnap nem esett, akkor a járda nem nedves."

Kíváncsi lehetünk, miért fontos ezeket a feltételes kijelentéseket a kezdeti kijelentésünkből megfogalmazni. A fenti példa gondos áttekintése felfed valamit. Tegyük fel, hogy az eredeti állítás „Ha tegnap este esett, akkor a járda nedves” igaz. A többi állításnak is igaznak kell lennie?

• A fordított „Ha a járda nedves, akkor tegnap este esett” nem feltétlenül igaz. A járda egyéb okokból is nedves lehet.
• Az inverz „Ha tegnap nem esett, akkor a járda nem nedves” nem feltétlenül igaz. Csak azért, mert nem esett, nem azt jelenti, hogy a járda nem nedves.
• A „Ha a járda nem nedves, akkor nem esett tegnap este esik ellen” pozitív állítás.

Amit ebben a példában látunk (és amit matematikailag bebizonyíthatunk) az az, hogy egy feltételes kijelentésnek ugyanaz az igazságértéke van, mint kontrapozitívjának. Azt mondjuk, hogy ez a két állítás logikusan egyenértékű. Azt is látjuk, hogy egy feltételes kijelentés logikailag nem egyenértékű annak fordított és fordított értékével.

Mivel a feltételes állítás és annak kontrapozitív logikailag ekvivalensek, ezt kihasználhatjuk előnyünkre, amikor a matematikai tételeket bizonyítjuk. Ahelyett, hogy közvetlenül feltárnánk egy feltételes kijelentést, inkább a közvetett bizonyítási stratégiát alkalmazhatjuk annak igazolására, hogy az állítás kontrapozitív. A kontrapozitív igazolások akkor működnek, ha a kontrapozitív igaz, a logikai egyenértékűség miatt, az eredeti feltételes állítás is igaz.

Kiderül, hogy annak ellenére, hogy a a fordított és inverz logikailag nem egyenértékű az eredeti feltételes kijelentéssel, logikailag egyenértékűek egymással. Erre egy egyszerű magyarázat van. A „If Q azután P”. Ennek a kijelentésnek a kontrapozitív: „Ha nem P akkor nem Q.” Mivel az inverz a fordított kontrapozitívja, a fordított és inverz logikailag ekvivalensek.