Mi az üres készlet a set-elméletben?

Mikor nem lehet valami? Ostoba kérdésnek és elég paradoxnak tűnik. A meghatározott elmélet matematikai területén szokásos, ha semmi nem más, mint semmi. Hogy lehet ez?

Ha elemet nem tartalmazó halmazt alkotunk, akkor már nincs semmi. Van egy készlet, amelynek nincs benne semmi. A halmaznak van egy különleges neve, amely nem tartalmaz elemeket. Ezt üres vagy null halmaznak nevezzük.

Az üres halmaz meghatározása meglehetősen finom és egy kicsit átgondolást igényel. Fontos megjegyezni, hogy a készlet mint elemek gyűjteménye. Maga a készlet különbözik az elemektől, amelyeket tartalmaz.

Például a {5} -et vizsgáljuk, amely egy készlet, amely az 5. elemet tartalmazza. A (z) {5} halmaz nem szám. Ez egy készlet, amelynek elemként 5-ös számot, míg 5-ös számot tartalmaz.

Hasonló módon az üres készlet semmi. Ehelyett ez a készlet elem nélkül. Segít a készletek konténerekként gondolkodni, és az elemek azok a dolgok, amelyeket beletetünk. Az üres konténer továbbra is konténer, és analóg az üres készlettel.

Az üres készlet egyedi, ezért teljesen helyénvaló erről beszélni az üres készlet helyett egy üres készlet. Ez megkülönbözteti az üres halmazt a többi készlettől. Végtelen sok készlet van, amelyekben egy elem van. A {a}, {1}, {b} és {123} halmazok mindegyike rendelkezik egy elemmel, tehát egyenértékűek egymással. Mivel maguk az elemek különböznek egymástól, a halmazok nem azonosak.

Semmi különös a fenti példákban, amelyek mindegyike egy elemmel rendelkezik. Egy kivétellel, bármilyen számláló számhoz vagy végtelenséghez, végtelenül sok ilyen méretű halmaz található. Kivétel a nulla szám. Csak egy készlet, az üres halmaz található, elem nélkül.

Ennek a ténynek a matematikai bizonyítása nem nehéz. Először azt feltételezzük, hogy az üres halmaz nem egyedi, hogy van két halmaz, amelyekben nincs elem, majd a halmazelmélet néhány tulajdonságát használjuk annak bemutatására, hogy ez a feltételezés ellentmondást jelent.

Az üres halmazt a symbol szimbólum jelöli, amely a dán ábécé hasonló szimbólumából származik. Egyes könyvek az üres halmazra utalnak a null készlet alternatív nevével.

Mivel csak egy üres halmaz van, érdemes megnézni, mi történik, amikor a beállított műveletek a kereszteződést, az uniót és a kiegészítést az üres halmazhoz és egy általános halmazhoz használjuk, amelyeket megjelölünk által x. Érdekes még az üres halmaz részhalmazát is megvizsgálni, és mikor áll az üres halmaz részhalmazát. Ezeket a tényeket az alábbiakban gyűjtjük össze:

• Az útkereszteződés bármelyik halmazból az üres halmaz az üres halmaz. Ennek oka az, hogy az üres halmazban nincsenek elemek, és így a két halmaznak nincs közös eleme. Szimbólumokban írunk x ∩ ∅ = ∅.
• Az unió bármelyik üres halmazból álló készlet az a készlet, amellyel kezdtük. Ennek oka az, hogy az üres halmazban nincsenek elemek, ezért az unió létrehozásakor nem adunk hozzá elemeket a másik halmazhoz. Szimbólumokban írunk x U ∅ = x.
• Az kiegészítés az üres készlet az univerzális készlet arra a beállításra, amelyen dolgozunk. Ennek oka az, hogy az összes elem halmaza, amely nem az üres halmazban, csak az összes elem halmaza.
• Az üres halmaz bármely halmaz részhalmaza. Ennek oka az, hogy halmaz részhalmazait képezzük x az elemek kiválasztásával (vagy nem kiválasztásával) x. Az egyik lehetőség egy részhalmaz számára, ha egyáltalán nem használnak elemeket x. Ez megadja az üres készletet.