Mi a Cauchy-eloszlás?

A véletlen változó egy eloszlása ​​nem az alkalmazások szempontjából fontos, hanem az, hogy mit mond nekünk a definícióinkról. A Cauchy-eloszlás egy ilyen példa, amelyet néha patológiás példának is neveznek. Ennek oka az, hogy bár ez az eloszlás jól definiált és kapcsolódik egy fizikai jelenséghez, az eloszlásnak nincs átlaga vagy varianciája. Valójában ez a véletlen változó nem rendelkezik a pillanat-generáló függvény.

A Cauchy-eloszlást egy fonó, például egy társasjáték típusának figyelembevételével határozzuk meg. A fonógép középpontja a y tengely a pontban (0, 1). A fonó forgatása után addig terjesztjük a fonó vonalszakaszát, amíg az át nem keresztezi az x tengelyt. Ezt a véletlen változónkként fogjuk meghatározni x.

Jelöljük w-vel azt a két szöget, amelyik a fonó által a y tengely. Feltételezzük, hogy ez a fonókészülék valószínűleg bármilyen szöget képez, mint egy másik, és így W egyenletes eloszlású -π / 2-től π / 2-ig terjedő tartományban.

Az alapvető trigonometria kapcsolatot biztosít a két véletlen változónk között:

x = CserW.

A kumulatív eloszlási függvényxaz alábbiak szerint származik:

H(x) = P(x < x) = P(CserW < x) = P(W < arctanx)

Ezután azt a tényt használjuk, hogyW egységes, és ez ad nekünk:

H(x) = 0.5 + (arctanx)/π

A valószínűségi sűrűségfüggvény megszerzéséhez megkülönböztetjük az összesített sűrűségfüggvényt. Az eredmény: h(x) = 1/[π (1 + x²) ]

A Cauchy-eloszlás érdekessé teszi, hogy annak ellenére, hogy az a fizikai rendszerével határoztuk meg véletlenszerű fonógép, egy Cauchy-eloszlású véletlen változónak nincs átlaga, szórása vagy pillanata generáló értéke funkció. Minden pillanatok ezeknek a paramétereknek a meghatározásához használt eredetről nem léteznek.

Először az átlag mérlegelésével kezdjük. Az átlagot a véletlenszerű változó várható értékeként definiáljuk, és így E [x] = ∫_-∞^∞x /[π (1 + x²)] dx.

Integrálunk segítségével helyettesítés. Ha beállítanánk u = 1 +x² akkor látjuk, hogy du = 2x dx. A helyettesítés elvégzése után a kapott nem megfelelő integrál nem konvergál. Ez azt jelenti, hogy a várt érték nem létezik, és az átlag nincs meghatározva.

Hasonlóképpen, a varianciát és a pillanat-generáló funkciót sem határozzuk meg.

A Cauchy-eloszlást Augustin-Louis Cauchy francia matematikusról (1789 - 1857) kapta. Annak ellenére, hogy ezt a disztribúciót Cauchy-nak nevezték, a disztribúcióval kapcsolatos információkat először a Poisson.