A nulla tényező egy olyan matematikai kifejezés, amely lehetővé teszi az adatok halmazának elrendezését, amelyekben nincs érték, és az egyenlő. Általában a faktoriális Egy szám rövidítése egy szorzó kifejezés írásának rövid módja, ahol a számot megszorozzuk mindegyik számmal, ami kevesebb, mint nulla, de nagyobb, mint nulla. 4! Például a 24 = megegyezik a 4 x 3 x 2 x 1 = 24 írásával, de az egyik a négy tényező számától jobbra felkiáltójelet használ ugyanazon egyenlet kifejezésére.
Ezekből a példákból elég egyértelmű, hogy hogyan lehet kiszámítani bármely vagy annál nagyobb egész szám tényezőjét egyenlő egyvel, de miért jelenik meg a nulla faktorialis értéke annak ellenére, hogy a matematikai szabály szerint nullával megszorozva bármi is nullával egyenlő?
A tényező meghatározása kimondja, hogy 0! = 1. Ez általában megzavarja az embereket, amikor először látják ezt az egyenletet, de az alábbiakban láthatjuk példák, miért van ennek értelme a nulla definíciójának, permutációinak és képleteinek megnézésekor? faktoriális.
A nulla tényező meghatározása
Az első ok, amiért a nulla tényező megegyezik az egynel, az, hogy a definíció szerint ezt kell lennie, ami matematikailag helyes magyarázat (ha kissé nem kielégítő). Ennek ellenére nem szabad elfelejtenünk, hogy a faktorial meghatározása az egész szám szorzata, amely értéke megegyezik vagy annál kevesebb a eredeti szám - más szavakkal, a tényező a lehetséges kombinációk száma, amelyeknél kevesebb vagy egyenlő számot lehet megadni szám.
Mivel a nulla nem kevesebb számmal rendelkezik, hanem önmagában még mindig egy szám, csak egy lehetséges kombináció van arra, hogy az adatkészlet hogyan legyen elrendezve: nem. Ez továbbra is a megszervezésének számít, tehát definíció szerint a nulla tényező megegyezik egyvel, éppúgy, mint 1! megegyezik egynel, mert ennek az adatkészletnek csak egy lehetséges elrendezése van.
Annak jobb megértése érdekében, hogy ennek miért van értelme matematikailag, fontos megjegyezni, hogy az ilyen tényezőket használják az információ lehetséges sorrendjének meghatározására egy szekvencia, más néven permutációk, amelyek hasznosak lehetnek annak megértésében, hogy annak ellenére, hogy nincsenek értékek üres vagy nulla halmazban, mégis van egy módja annak, hogy a halmaz elrendezve.
Permutációk és tényezők
A permutáció egy készlet egyedi, egyedi sorrendje. Például a {1, 2, 3} halmaznak hat permutációja van, amely három elemet tartalmaz, mivel ezeket az elemeket a következő hat módon írhatjuk:
- 1, 2, 3
- 1, 3, 2
- 2, 3, 1
- 2, 1, 3
- 3, 2, 1
- 3, 1, 2
Ezt a tényt a 3. egyenlettel is kijelenthetjük! = 6, amely a permutációk teljes halmazának faktorszintű ábrázolása. Hasonló módon vannak 4! = 24 elem permutációja négy elemmel és 5 elemmel! = Öt elemből álló halmaz 120 permutációja. Tehát alternatív módja annak, hogy a faktorialitokra gondoljunk, ha hagyjuk n légy természetes szám, és mondd ezt n! a permutációk száma egy halmazon n elemekkel.
A faktoriali gondolkodásmódjának nézzük meg néhány további példát. Egy sor két elemmel van két permutáció: {a, b} elrendezhető a, b vagy b, a formában. Ez 2-nek felel meg! = 2. Az egy elemmel rendelkező készletnek egyetlen permutációja van, mivel a (z) {1} készletben az 1. elem csak egy módon rendelhető.
Ez a tényezőn nulla. A nulla elemmel rendelkező készlet neve üres készlet. A nulla tényező értékének megkereséséhez azt kérdezzük: „Hány módon rendelhetünk el elemek nélküli készletet?” Itt egy kicsit ki kell terjesztenünk a gondolkodásmódot. Annak ellenére, hogy nincs megrendelés, van egy módja ennek. Így van 0! = 1.
Képletek és egyéb érvényesítések
A 0 meghatározásának másik oka! = 1 azokra a képletekre vonatkozik, amelyeket a permutációkhoz és a kombinációkhoz használunk. Ez nem magyarázza meg, hogy miért nulla a faktorialitás, de megmutatja, miért állítja a 0-t! = 1 jó ötlet.
A kombináció egy halmaz elemének csoportosítása, a rendelés figyelembe vétele nélkül. Vegyük például a {1, 2, 3} halmazt, ahol van egy kombináció, amely mindhárom elemből áll. Nem számít, hogyan rendezzük ezeket az elemeket, ugyanazzal a kombinációval járunk.
Mi használjuk a kombinációk képlete három elem kombinációjával, amelyek egyszerre háromból készültek, és láthatjuk, hogy 1 = C (3, 3) = 3!/(3! 0!), És ha 0-t kezelünk! mint ismeretlen mennyiség, és algebrai módon oldjuk meg, ezt látjuk 3! 0! = 3! és így 0! = 1.
Más oka van annak is, hogy miért jelenti a 0 meghatározását! = 1 helyes, de a fenti okok a legegyszerűbbek. A matematika általános elképzelése, hogy az új ötletek és definíciók megalkotásakor megmaradnak összhangban van más matematikával, és pontosan ezt látjuk a nulla tényező meghatározásában egyenlő egyvel.