Nem minden végtelen halmaz azonos. A halmazok megkülönböztetésének egyik módja az, ha megkérdezi, hogy a halmaz számlálható-e végtelen vagy nem. Ily módon azt mondjuk, hogy a végtelen halmazok vagy számolhatók, vagy nem számolhatók. Megvizsgáljuk a végtelen halmazok számos példáját, és meghatározzuk, melyik nem számolható.
Megszámlálhatatlanul végtelen
Először azzal zárjuk ki a végtelen halmazok számos példáját. A végtelen halmazok közül sok, amelyekre azonnal gondolkodnánk, számottelenül végtelennek bizonyul. Ez azt jelenti, hogy a természetes számokkal való egyezésnek felel meg.
A természetes számok, az egész számok és a racionális számok számlálhatóan végtelenek. Számolhatóan végtelen halmazok minden egyesülése vagy kereszteződése is számolható. Tetszőleges számú megszámlálható készlet derékszögű terméke számolható. A megszámolható halmaz bármely alkészlete szintén megszámolható.
Megszámlálhatatlan
A kiszámíthatatlan halmazok bevezetésének leggyakoribb módja a (0, 1) intervallum figyelembevétele
valós számok. Ebből a tényből és az egy-egy funkcióból f( x ) = bx + egy. egyenes következtetés annak bizonyítására, hogy bármely intervallum (egy, b) a valós számok kiszámíthatatlanul végtelenek.A teljes valós szám halmaza sem számolható. Ennek egyik módja az egy-egy érintő funkció használata f ( x ) = tan x. Ennek a funkciónak a tartománya az intervallum (-π / 2, π / 2), egy kiszámíthatatlan halmaz, és a tartomány az összes valós szám halmaza.
Egyéb kiszámíthatatlan készletek
Az alaphalmazelmélet műveletei felhasználhatók további példák előállítására a kiszámíthatatlanul végtelen halmazokról:
- Ha A egy alcsoportja B és A számíthatatlan, akkor az is B. Ez egyértelműbb bizonyítékot szolgáltat arra, hogy a teljes valós szám halmozhatatlan.
- Ha A számíthatatlan és B bármilyen halmaz, akkor az unió A U B szintén kiszámíthatatlan.
- Ha A számíthatatlan és B bármilyen készlet, akkor a derékszögű termék A x B szintén kiszámíthatatlan.
- Ha A végtelen (még számíthatatlanul végtelen is), akkor a tápkészlet nak,-nek A kiszámíthatatlan.
Két másik, egymással kapcsolatos példa kissé meglepő. A valós számok minden részhalmaza nem számolhatatlanul végtelen (valóban a racionális számok a valóság számítható részhalmazát alkotják, amely szintén sűrű). Egyes részhalmazok megszámolhatatlanul végtelenek.
Ezeknek a megszámolhatatlanul végtelen részhalmazainak bizonyos tizedes kiterjesztései vannak bevonva. Ha két számot választunk, és minden lehetséges tizedes kiterjesztést csak e két számmal alakítunk ki, akkor a kapott végtelen halmaz nem számolható.
Egy másik készlet bonyolultabb felépítése, és nem is kiszámíthatatlan. Kezdje a zárt intervallummal [0,1]. Távolítsa el a készlet középső harmadát, aminek eredményeként [0, 1/3] U [2/3, 1] lesz. Most távolítsa el a készlet minden egyes darabjának középső harmadát. Ezért az (1/9, 2/9) és a (7/9, 8/9) szöveget el kell hagyni. Ilyen módon folytatjuk. Azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek ezen intervallumok eltávolítása után maradnak, nem egy intervallum, azonban számtalanul végtelen. Ezt a halmazt Kantorkészletnek hívják.
Végtelen sok számíthatatlan halmaz van, de a fenti példák a leggyakrabban előforduló halmazok.