Számítások a gamma függvénnyel

Az gamma funkció a következő bonyolult megjelenésű képlet határozza meg:

Γ ( Z ) = ∫₀^∞e ^{- t}t^Z-1dt

Az egyik kérdés, amely az embereknek felmerül, amikor először találkoznak ezzel a zavaró egyenlettel, a következő: „Hogyan használja ezt a képletet a gamma funkció? ” Ez egy fontos kérdés, mivel nehéz tudni, mit jelent ez a funkció, és mit jelent az összes szimbólum A.

Ennek a kérdésnek a megválaszolásának egyik módja a gamma-funkcióval végzett többféle számítás megnézése. Mielőtt ezt megtennénk, van néhány dolgot a kalkulusból, amelyeket tudnunk kell, például az I. típusú nem megfelelő integrál integrálásának módja, és hogy e egy matematikai állandó.

A számítások elvégzése előtt megvizsgáljuk a számítások motivációját. A gamma funkciók sokszor megjelennek a színfalak mögött. Számos valószínűségi sűrűségfüggvényt fogalmaztak meg a gamma függvény szempontjából. Ezekre példa a gamma-eloszlás és a hallgatók t-eloszlása. A gamma-funkció fontosságát nem szabad túlbecsülni.

Az első számítási példa, amelyet megvizsgálunk, a ma (1) gammafüggvényének megkeresése. Ezt beállítással találja meg

∫₀^∞e ^{- t}dt

A fenti integrált két lépésben számoljuk ki:

• A határozatlan integrál ∫e ^{- t}dt= -e ^{- t} + C
• Ez nem megfelelő integrál, tehát van ∫₀^∞e ^{- t}dt = lim_{b → ∞} -e ^{- b} + e ⁰ = 1

A következő példaszámítás, amelyet megvizsgálunk, hasonló az előző példához, de növeljük a Z 1-ig. Most kiszámoljuk a Γ (2) gamma funkciójának értékét a beállítás segítségével Z = 2 a fenti képletben. A lépések megegyeznek a fentiekkel:

Γ ( 2 ) = ∫₀^∞e ^{- t}t dt

A határozatlan integrál ∫te ^{- t}dt=- te ^{- t} -e ^{- t} + C. Noha csak növeltük a Z 1-rel több munkát igényel ennek az integrálnak a kiszámítása. Annak érdekében, hogy megtaláljuk ezt az integrált, egy olyan technikát kell használnunk, amely a részek szerinti integráció. Az integráció határait a fentiekhez hasonlóan használjuk, és kiszámítanunk kell:

lim_{b → ∞}- lenni ^{- b} -e ^{- b} -0e ⁰ + e ⁰.

Az L'Hospital szabályának nevezett számítás eredményeként számíthatunk a határértékre_{b → ∞}- lenni ^{- b} = 0. Ez azt jelenti, hogy a fenti integrálunk értéke 1.

A gamma-funkció egy másik jellemzője, és amely azt összeköti a faktoriális a képlet Γ (Z +1 ) =ZΓ (Z ) számára Z bármilyen komplex szám pozitív igazi rész. Ennek oka a gamma funkció képletének közvetlen eredménye. A részek közötti integráció alkalmazásával megállapíthatjuk a gamma funkció ezen tulajdonságát.