Mi a valószínűség várható értéke?

Te karneválon vagy, és látsz egy játékot. 2 dollárért egy standard hatoldalas szerszámot dob. Ha a hat szám látható, akkor 10 dollárt nyer, ellenkező esetben semmit nem nyer. Ha pénzt keresel, érdekli az a játék? Egy ilyen kérdés megválaszolásához szükség van a várható érték fogalmára.

A várt érték valóban véletlenszerű változó átlagának tekinthető. Ez azt jelenti, hogy ha újra és újra elvégez egy valószínűségi kísérletet, és nyomon követi az eredményeket, akkor a várható érték a átlagos az összes kapott értékből. A várható érték az, amire számítania kell a szerencsejáték sok kipróbálásának hosszú távon történő bekövetkezésére.

A fent említett karneváli játék egy diszkrét véletlen változó példája. A változó nem folyamatos, és minden eredmény olyan számban érkezik hozzánk, amely elválasztható a többitől. Hogy megtaláljuk a kimenetelű játék várható értékét x₁, x₂,..., x_n valószínűségekkel p₁, p₂,... , p_n, kiszámítja:

x₁p₁ + x₂p₂ +... + x_np_n.

A fenti játék esetén 5/6 valószínűséggel veszít semmit. Ennek az eredménynek az értéke -2, mivel 2 dollárt költöttek a játék lejátszására. Egy hatszor 1/6 valószínűséggel jelenik meg, és ennek az értéknek 8 eredménye van. Miért 8 és nem 10? Meg kell számolnunk azt a 2 dollárt is, amelyet fizettek a játékért, és 10 - 2 = 8-at.

Most csatlakoztassa ezeket az értékeket és valószínűségeket a várthoz értékképlet és végül: -2 (5/6) + 8 (1/6) = -1/3. Ez azt jelenti, hogy hosszú távon arra számíthat, hogy átlagosan körülbelül 33 cent veszít minden alkalommal, amikor ezt a játékot játssza. Igen, néha nyersz. De gyakran veszítesz.

Tegyük fel, hogy a karneváli játékot kissé módosították. Ugyanazon 2 dolláros nevezési díjért, ha a szám jelenik meg, akkor 6 dollárt nyer, ellenkező esetben semmit sem nyer. A játék várható értéke -2 (5/6) + 10 (1/6) = 0. Hosszú távon nem veszít pénzt, de nem is nyer. Ne várja el, hogy a helyi karneválon lát egy játékot ezekkel a számokkal. Ha hosszú távon nem veszít pénzt, akkor a karnevál nem fog pénzt keresni.

Most forduljon a kaszinóhoz. A fentiekhez hasonlóan kiszámolhatjuk a szerencsejátékok, például a rulett várható értékét. Az Egyesült Államokban a rulettkerék 38 számozott rést tartalmaz 1-től 36-ig, 0-ig és 00-ig. Az 1-36-os állatok fele vörös, fele fekete. A 0 és a 00 zöld színűek. A labda véletlenszerűen landol az egyik résidőn, és fogadásokat tesz arra a helyre, ahol a labda leszáll.

Az egyik legegyszerűbb fogadás a vörös tét. Ha 1 dollárt fogad, és a labda egy piros számmal landol a kerékben, akkor 2 dollárt nyer. Ha a golyó egy fekete vagy zöld helyre fekszik a kerékben, akkor semmit nem nyer. Mi az ilyen fogadás várható értéke? Mivel 18 vörös mező van, a győzelem valószínűsége 18/38, a nettó nyereség 1 dollár. 20/38 esélye van annak, hogy elveszíti az 1 dolláros kezdeti tétjét. A tét várt értéke in rulett 1 (18/38) + (-1) (20/38) = -2/38, ami körülbelül 5,3 cent. Itt a háznak van egy kis széle (mint minden kaszinó játéknál).

További példa: a lottó. Noha milliókat lehet nyerni az 1 dolláros jegyért, a lottójáték várható értéke megmutatja, hogy milyen igazságtalanul épül fel. Tegyük fel, hogy 1 dollárért hat számot választ 1 és 48 között. Mind a hat szám helyes megválasztásának valószínűsége 1 / 12,271,512. Ha egymillió dollárt nyer azért, hogy mind a hat helyes legyen, mi a várt értéke ennek a lottónak? A lehetséges értékek: - 1 dollár a veszteségért és 999 999 dollár a nyerésért (ismét számolnunk kell a játék költségeivel, és ezt le kell vonni a nyereményből). Ez várható értéket ad nekünk:

(-1)(12,271,511/12,271,512) + (999,999)(1/12,271,512) = -.918

Tehát ha újra és újra játszana a lottót, akkor hosszú távon mintegy 92 cent veszít - szinte az összes jegyára - minden egyes játékkor.

A fenti példák mindegyike különálló véletlen változó. Lehetséges azonban a várható érték meghatározása egy folyamatos véletlen változóra is. Csak annyit kell tennünk, hogy helyettesítjük a képletünkben az integrált.

Fontos megjegyezni, hogy a várható érték az a, sok a vizsgálat után az átlag véletlenszerű folyamat. Rövid távon egy véletlen változó átlaga jelentősen eltérhet a várttól.