A számolás könnyű feladatnak tűnik. Ahogy mélyebbre megyünk a matematika ismert, mint kombinatorika, rájövünk, hogy néhány nagy számmal találkozunk. Óta faktoriális olyan gyakran jelenik meg, mint például 10! nagyobb, mint három millió, a problémák számolása nagyon gyorsan bonyolulttá válhat, ha megpróbáljuk felsorolni az összes lehetőséget.
Időnként, ha figyelembe vesszük azokat a lehetőségeket, amelyeket számlálási problémáink felvehetnek, könnyebb átgondolni a probléma alapelveit. Ez a stratégia sokkal kevesebb időt vehet igénybe, mint a brutális erő megkísérelése a következők felsorolására kombinációk vagy permutációk.
A kérdés: "Hány módon lehet valamit tenni?" teljesen más kérdés, mint a "Milyen lehetőségek vannak hogy valamit lehet tenni? "Ezt az ötletet a következő kihívásokkal teli számolás sorozatában látjuk problémákat.
A következő kérdéscsoport a Háromszög szót foglalja magában. Vegye figyelembe, hogy összesen nyolc betű van. Meg kell érteni, hogy a magánhangzók A TRIANGLE szó AEI, a TRIANGLE szó mássalhangzói pedig LGNRT. Valódi kihívás elõtt, további olvasás elõtt nézze meg ezen problémák megoldás nélküli verzióját.
A problémák
- Hány módon lehet a háromszög szó betűit elrendezni?
Megoldás: Itt összesen nyolc választható az első betűhöz, hét a másodikhoz, hat a harmadikhoz és így tovább. A szorzási elv alkalmazásával összesen 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8 szorzót szorozzunk! = 40 320 különféle módon. - Hányszor lehet a háromszög szó betűit elrendezni, ha az első három betűnek RAN-nek kell lennie (pontosan ebben a sorrendben)?
Megoldás: Az első három betűt nekünk választották ki, így öt betű maradt nekünk. A RAN után öt választási lehetőségünk van a következő levélre, amelyet négy, aztán három, majd kettő, majd egy választhat. A szorzási elv szerint 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 módszer a betűk megadott módon történő elrendezésére. - Hányszor lehet a TRIANGLE szó betűit elrendezni, ha az első három betűnek RAN-nek kell lennie (bármilyen sorrendben)?
Megoldás: Két különálló feladatnak tekintjük: az elsõ a RAN betûket, a második a másik öt betût rendezi. Vannak 3! = 6 módszer a RAN és az 5 elrendezésére! A többi öt betű elrendezésének módjai. Tehát összesen 3! x 5! = 720 módszer a Háromszög betűinek a megadott elrendezésére. - Hányszor lehet a háromszög szó betűit elrendezni, ha az első három betűnek RAN-nek kell lennie (bármilyen sorrendben), és az utolsó betűnek magánhangzónak kell lennie?
Megoldás: Nézzük ezt három feladatként: az elsõ a RAN betûket rendezi, a második az egyik magánhangzót választja az I és az E közül, a harmadik pedig a másik négy betût rendezi. Vannak 3! = 6 módszer a RAN elrendezésére, 2 lehetőség egy magánhangzó kiválasztására a fennmaradó betűk közül és 4! A többi négy betű elrendezésének módjai. Tehát összesen 3! X 2 x 4! = 288 módszer a Háromszög betűinek a megadott elrendezésére. - Hányszor lehet a háromszög szó betűit elrendezni, ha az első három betűnek RAN-nek kell lennie (bármilyen sorrendben), és a következő három betűnek TRI-nek kell lennie (bármilyen sorrendben)?
Megoldás: Megint három feladatunk van: az első a RAN betűket rendezi, a második a TRI betűket, a harmadik a másik két betűt rendezi. Vannak 3! = 6 módszer a RAN elrendezésére, 3! a TRI rendezésének módjai és a többi levél rendezésének két módja. Tehát összesen 3! x 3! X 2 = 72 módon rendezheti a Háromszög betűit a jelzés szerint. - Hány különféle módon lehet a TRIANGLE szó betűit elrendezni, ha az IAE magánhangzók sorrendjét és elhelyezkedését nem lehet megváltoztatni?
Megoldás: A három magánhangzót ugyanabban a sorrendben kell tartani. Most összesen öt mássalhangzót kell rendezni. Ezt meg lehet tenni 5-ben! = 120 módon. - Hányféle módon rendezheti a Háromszög szó betűit, ha az IAE magánhangzók sorrendje nem lehetséges meg lehet változtatni, bár elhelyezkedésük lehetséges (IAETRNGL és TRIANGEL elfogadható, de az EIATRNGL és a TRIENGLA nem)?
Megoldás: Erre legjobban két lépésben lehet gondolni. Az első lépés az, hogy válassza ki azokat a helyeket, ahol a magánhangzók elmennek. Itt nyolc közül három helyet választunk ki, és a sorrend, hogy ezt csináljuk, nem fontos. Ez egy kombináció, és összesen vannak C(8,3) = 56 módszer a lépés végrehajtására. A fennmaradó öt betű 5-ös lehet! = 120 módon. Ez összesen 56 x 120 = 6720 elrendezést eredményez. - Hány különféle módon lehet a TRIANGLE szó betűit elrendezni, ha az IAE magánhangzók sorrendje megváltoztatható, bár elhelyezkedésük nem lehetséges?
Megoldás: Ez valóban ugyanaz, mint a fenti 4. számú, de különböző betűkkel. Rendezzük el három betű 3-ból! = 6 módszer, a másik öt betű pedig 5-ből! = 120 módon. Ennek az elrendezésnek a teljes száma 6 x 120 = 720. - Hány különböző módon lehet elrendezni a háromszög szó hat betűjét?
Megoldás: Mivel az elrendezésről beszélünk, ez egy permutáció, és összesen vannak P( 8, 6) = 8!/2! = 20 160 út. - Hány különböző módon lehet elrendezni a háromszög szó hat betűjét, ha azonos számú magánhangzónak és mássalhangzónak kell lennie?
Megoldás: Csak egy módon lehet kiválasztani a magánhangzókat, amelyeket el fogunk helyezni. A mássalhangzók kiválasztása az alábbiak szerint történhet C(5, 3) = 10 módszer. Akkor vannak 6! hogyan lehet elrendezni a hat betűt. Szorozzuk meg ezeket a számokat 7200 eredményhez. - Hány különböző módon lehet elrendezni a háromszög szó hat betűjét, ha legalább egy mássalhangzónak kell lennie?
Megoldás: Minden hat betűből álló elrendezés megfelel a feltételeknek, tehát vannak P(8, 6) = 20 160 módszer. - Hány különböző módon lehet elrendezni a háromszög szó hat betűjét, ha a magánhangzóknak mássalhangzókkal kell váltakozniuk?
Megoldás: Kétféle lehetőség van: az első betű magánhangzó vagy az első betű mássalhangzó. Ha az első betű egy magánhangzó, akkor három választási lehetőséget választunk, majd öt következik mássalhangzó esetén, kettő a második magánhangzónál, négy a második mássalhangzónál, egy az utolsó magánhangzónál és három az utolsó mássalhangzónál. Szorozzuk meg, hogy 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360 legyen. Szimmetria érvekkel azonos számú elrendezés létezik, amely mássalhangzóval kezdődik. Ez összesen 720 rendezést eredményez. - Hány különböző négy betűkészlet képezhető a háromszög szóból?
Megoldás: Mivel a készlet összesen nyolc betűből négy, a sorrend nem fontos. Ki kell számítanunk a kombinációt C(8, 4) = 70. - Hány különféle négy betűkészlet képezhető a TRIANGLE szóból, amelynek két magánhangzó és két mássalhangzó van?
Megoldás: Itt két lépésben formáljuk a készletünket. Vannak C(3, 2) = háromféle módon választhat két magánhangzót összesen 3 közül. Vannak C(5, 2) = 10 módszer a mássalhangzók kiválasztására a rendelkezésre álló öt közül. Ez összesen 3x10 = 30 készletet eredményez. - Hány különböző négy betűből álló halmaz alakítható ki a Háromszög szóból, ha legalább egy magánhangzót akarunk?
Megoldás: Ezt a következőképpen lehet kiszámítani:
- Egy magánhangzóval négy sorozat száma C(3, 1) x C( 5, 3) = 30.
- Két magánhangzóval ellátott négy sorozat száma: C(3, 2) x C( 5, 2) = 30.
- Három magánhangzóval ellátott négy sorozat száma C(3, 3) x C( 5, 1) = 5.
Ez összesen 65 különféle készletet ad. Alternatív megoldásként kiszámolhatjuk, hogy 70féle módon állíthatunk elő négy betűkészletet, és kivonhatjuk a C(5, 4) = 5 módszer egy magánhangzó nélküli készlet előállítására.