Gyakori paraméterek mert Valószínűségi eloszlás tartalmaznia kell az átlagot és a szórást. Az átlag megadja a középpont mérését, és a szórás megmutatja, hogy mekkora az eloszlása. Ezen közismert paramétereken kívül vannak olyanok is, amelyek felhívják a figyelmet a terjedésre vagy a középponton kívüli egyéb tulajdonságokra. Az egyik ilyen mérés a ferdeség. A ferde helyzet lehetővé teszi egy numerikus érték hozzárendelését az eloszlás aszimmetriájához.
Az egyik fontos eloszlás, amelyet megvizsgálunk, az exponenciális eloszlás. Látjuk, hogyan lehet bebizonyítani, hogy az exponenciális eloszlás ferde 2.
Exponenciális valószínűség-sűrűségfüggvény
Először az exponenciális eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvényének megadásával kezdjük. Ezeknek az eloszlásoknak van egy paramétere, amely a kapcsolódó paraméterhez kapcsolódik Poisson-folyamat. Ezt az eloszlást Exp (A) -ként jelöljük, ahol A a paraméter. A valószínűség sűrűségfüggvénye ennek az eloszlásnak:
f(x) = e-x/ A/ A, ahol x nem negatív.
Itt
e a matematikai állandó e ez körülbelül 2,718281828. Az Exp (A) exponenciális eloszlás átlaga és szórása egyaránt kapcsolódik az A paraméterhez. Valójában az átlag és a szórás egyaránt megegyezik az A-val.A ferdesség meghatározása
A ferdöt a középérték körülbelül a harmadik pillanathoz kapcsolódó kifejezés határozza meg. Ez a kifejezés a várt érték:
E [(X - μ)3/σ3] = (E [X3] - 3μ E [X2] + 3μ2E [X] - μ3)/σ3 = (E [X3] – 3μ(σ2 – μ3)/σ3.
A μ és σ helyettesítjük A-val, és az eredmény az, hogy a ferde E [X3] / A3 – 4.
Csak a harmadik kiszámítása szükséges pillanat az eredetről. Ehhez a következőket kell integrálni:
∫∞0x3f(xd)x.
Ennek az integrálnak végtelensége az egyik határa. Így az I. típusú nem megfelelő integrálnak tekinthető. Azt is meg kell határoznunk, hogy milyen integrációs technikát kell használni. Mivel az integrálási függvény polinomiális és exponenciális függvény eredménye, használnunk kellene részek szerinti integráció. Ezt az integrációs technikát többször alkalmazzák. A végeredmény:
VOLT3] = 6A3
Ezután ezt kombináljuk a korábbi egyenlettel a ferdeségre vonatkozóan. Látjuk, hogy a ferde 6 - 4 = 2.
Következmények
Fontos megjegyezni, hogy az eredmény független a konkrét exponenciális eloszlástól, amelytől kezdjük. Az exponenciális eloszlás ferde nem függ az A paraméter értékétől.
Ezenkívül látjuk, hogy az eredmény pozitív ferde. Ez azt jelenti, hogy az eloszlás jobbra van ferdítve. Ez nem meglepő, mivel a valószínűségi sűrűségfüggvény gráfjának alakjára gondolunk. Az összes ilyen eloszlás y-metszéspontú, mint 1 // theta, és egy farok, amely a gráf jobb széléhez vezet, és amely a változó magas értékeinek felel meg x.
Alternatív számítás
Természetesen azt is megemlítenünk, hogy van egy másik módszer a ferdénység kiszámítására. Az exponenciális eloszláshoz felhasználhatjuk a pillanatgeneráló funkciót. A pillanat-generáló függvény 0-ra értékelve E [X] -ot kap. Hasonlóképpen, a pillanat-generáló függvény harmadik származéka, ha 0-nál értékelik, E (X3].