Ha arra kéri valakit, hogy nevezze meg kedvenc matematikai állandóját, akkor valószínűleg megkap egy apróbb megjelenést. Egy idő után valaki önként vállalhatja, hogy a a legjobb állandó a pi. De ez nem az egyetlen fontos matematikai állandó. Egy közeli másodperc, ha nem, akkor a legszélesebb körben előforduló állandó korona korlátja e. Ez a szám számításban, szám elméletben, valószínűségben és statisztika. Megvizsgáljuk ennek a figyelemre méltó számnak a néhány tulajdonságát, és meglátjuk, hogy milyen kapcsolat van a statisztikákkal és a valószínűséggel.
Értéke e
Mint a pi, e irracionális valós szám. Ez azt jelenti, hogy nem írható töredékként, és hogy a tizedes tágulása örökre folytatódik anélkül, hogy ismétlődő számblokkok lennének folyamatosan ismétlődőek. A szám e szintén transzcendentális, ami azt jelenti, hogy nem egy nem nulla polinom gyökere racionális együtthatókkal. Az első ötven tizedes jelet a e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995.
Meghatározása e
A szám e az összetett kamat iránt érdeklődő emberek fedezték fel. A kamat ezen formájában a megbízó kamatot keres, majd a keletkező kamat maga kamatot keres. Megfigyelték, hogy minél nagyobb az éves összeállítási időszak gyakorisága, annál nagyobb a kamatmennyiség. Például megnézhetjük az érdeklődés összevonását:
- Évente vagy évente egyszer
- Félévente, vagy évente kétszer
- Havonta, vagy évente 12-szer
- Naponta, vagy évente 365-szer
Ezen esetek mindegyikében a kamat teljes összege növekszik.
Felmerült a kérdés, hogy mekkora összeget lehet keresni kamatokkal. Ha még több pénzt akarunk keresni, elméletileg növelhetjük az összeállítási periódusok számát olyan számra, amennyit akartunk. Ennek a növekedésnek az a végeredménye, hogy úgy gondoljuk, hogy az érdeklődés folyamatosan fokozódik.
Amíg a generált kamat növekszik, ez nagyon lassan történik. A számlán szereplő teljes összeg ténylegesen stabilizálódik, és az az érték, amelyre ez stabilizálódik e. Ennek kifejezéséhez matematikai képlettel azt mondjuk, hogy a határ as n növekedése (1 + 1 /n)n = e.
Felhasználása e
A szám e az egész matematikában megjelenik. Íme néhány hely, ahol megjelenik:
- Ez a természetes logaritmus alapja. Mivel Napier logaritmusokat dolgozott ki, e néha Napier állandójának nevezik.
- A kalkulusban az exponenciális függvény ex az egyedülálló tulajdonsága, hogy saját származéka.
- Kifejezések bevonásával ex és e-x kombinálva képezik a hiperbolikus szinusz és hiperbolikus koszinus funkciókat.
- Euler munkájának köszönhetően tudjuk, hogy a matematika alapvető állandói összekapcsolódnak a képlettel eiΠ + 1 = 0, ahol én a képzeletbeli szám, amely a negatív négyzetgyöke.
- A szám e különféle képletekben jelenik meg az egész matematikában, különösen a számelmélet területén.
Az érték e a Statisztikában
A szám fontossága e nem korlátozódik csupán a matematika néhány területére. A számnak többféle felhasználása is van e statisztikában és valószínűségben. Néhány ezek a következők:
- A szám e megjelenik a képlet a gamma-függvényre.
- A képletek a normál normál eloszlás jár e negatív erőre. Ez a képlet magában foglalja a pi-t is.
- Sok más disztribúció magában foglalja a szám használatát e. Például a t-eloszlás, a gamma-eloszlás és a chi-négyzet eloszlás képlete tartalmazza mind a számot e.