A következtetési statisztikák fontos részét képezi a hipotézis tesztelése. A matematikához kapcsolódó bármilyen tanuláshoz hasonlóan hasznos több példát áttekinteni. Az alábbiakban egy hipotézis teszt példáját vizsgáljuk, és kiszámoljuk a valószínűségét I. és II. típusú hibák.
Feltételezzük, hogy az egyszerű feltételek fennállnak. Pontosabban feltételezzük, hogy van egyszerű véletlenszerű minta egy olyan lakosságból, amely vagy általában elosztva vagy elég nagy mintaméretet tudunk alkalmazni központi határ tétel. Feltételezzük azt is, hogy tudjuk a népesség szórását.
A probléma megállapítása
Egy zacskó burgonyaszirot csomagolnak súly szerint. Összesen kilenc zsákot vásárolnak meg, lemértek és e kilenc zsák átlagos súlya 10,5 uncia. Tegyük fel, hogy az összes ilyen zacskóforgács népességének szórása 0,6 uncia. Az összes csomagoláson feltüntetett súly 11 uncia. Állítsa be a szignifikancia szintjét 0,01-re.
1. kérdés
Támogatja-e a minta azt a hipotézist, miszerint a valódi populáció átlaga kevesebb, mint 11 uncia?
Nekünk van alsó farok teszt. Ezt látja a mi nyilatkozatunk null és alternatív hipotézisek:
- H0: μ=11.
- Hegy: μ < 11.
A teszt statisztikáját a képlettel számítják ki
Z = (x-bar - μ0)/(σ/√n) = (10.5 - 11)/(0.6/√ 9) = -0.5/0.2 = -2.5.
Most meg kell határoznunk, mennyire valószínű Z egyedül a véletlen miatt. Táblázat használatával Zeredmények alapján látjuk azt a valószínűséget, hogy Z kevesebb, mint -2,5 vagy azzal egyenlő, 0,0062. Mivel ez a p-érték kisebb, mint a szignifikancia szint, elutasítjuk a nullhipotézist és elfogadjuk az alternatív hipotézist. Az összes zacskó zacskó átlagos tömege kevesebb, mint 11 uncia.
2. kérdés
Mekkora az I. típusú hiba valószínűsége?
I típusú hiba akkor fordul elő, ha visszautasítjuk az igaz hipotézist. Az ilyen hiba valószínűsége megegyezik a szignifikancia szinttel. Ebben az esetben a szignifikancia szintje 0,01-nél egyenlő, tehát ez az I típusú hiba valószínűsége.
3. kérdés
Ha a népesség átlaga valójában 10,75 uncia, akkor milyen valószínűséggel jelentkezik a II. Típusú hiba?
Először úgy döntünk, hogy újrafogalmazzuk döntési szabályunkat a minta átlag szempontjából. A 0,01 szignifikanciaszinten a nullhipotézist akkor utasíthatjuk el, amikor Z < -2.33. Ha ezt az értéket beillesztjük a tesztstatisztika képletébe, akkor elutasítjuk a null hipotézist, amikor
(x-bar - 11) / (0,6 / √ 9)
Ezzel egyenértékűen elutasítjuk a nullhipotézist, amikor 11 - 2,33 (0,2)> x-sáv, vagy mikor x-sáv kevesebb, mint 10,534. Nem tudjuk elutasítani a nulla hipotézist x- sáv legalább 10,534. Ha a valódi populáció átlaga 10,75, akkor annak valószínűsége, hogy x-bar nagyobb vagy egyenlő, mint 10,534, egyenértékű azzal a valószínűséggel, hogy Z nagyobb vagy egyenlő -0,22-rel. Ez a valószínűség, amely egy II. Típusú hiba valószínűsége, egyenlő 0,587-rel.