Mi a Markov egyenlőtlensége?

Markov egyenlőtlensége a valószínűség hasznos eredménye, amely információkat ad a Valószínűségi eloszlás. A figyelemre méltó szempont az, hogy az egyenlőtlenség fennáll minden pozitív értékekkel rendelkező eloszlás esetén, függetlenül attól, hogy milyen más tulajdonságokkal rendelkezik. Markov egyenlőtlensége ad egy felső korlátot az eloszlás egy adott érték feletti százalékának.

Markov egyenlőtlensége ezt mondja egy pozitív véletlen változóra x és minden pozitív valós számegy, annak valószínűsége, hogy x nagyobb vagy egyenlő: egy kisebb vagy egyenlő a várható érték nak,-nek x osztva egy.

A fenti leírás tömörebben fogalmazható meg matematikai jelöléssel. A szimbólumokban Markov egyenlőtlenségét írjuk:

P (x ≥ egy) ≤ E( x) /egy

Az egyenlőtlenség szemléltetéséhez tegyük fel, hogy van egy eloszlásunk negatív értékekkel (például a chi-négyzet eloszlás). Ha ez a véletlen változó x várható értéke 3, néhány értékre megvizsgáljuk a valószínűségeket egy.

• mert egy = 10 Markov egyenlőtlensége ezt mondja P (x ≥ 10) ≤ 3/10 = 30%. Tehát van egy 30% -os valószínűséggel ez x nagyobb, mint 10.
• mert egy = 30 Markov egyenlőtlensége ezt mondja P (x ≥ 30) ≤ 3/30 = 10%. Tehát van egy 10% -os valószínűséggel ez x nagyobb, mint 30.
• mert egy = 3 Markov egyenlőtlensége ezt mondja P (x ≥ 3) ≤ 3/3 = 1. Az 1 = 100% valószínűséggel bíró események biztosak. Tehát ez azt mondja, hogy a véletlen változó valamelyik értéke nagyobb, vagy egyenlő, mint 3. Ez nem lehet túl meglepő. Ha az összes érték x kevesebb, mint 3, akkor a várt érték szintén kevesebb lesz, mint 3.
• Mivel a egy növekszik, a hányados E(x) /egy egyre kisebb lesz. Ez azt jelenti, hogy a valószínűsége nagyon kicsi x nagyon, nagyon nagy. Ismét, ha a várt érték 3, akkor nem számíthatunk arra, hogy nagyon nagy az eloszlás nagy része.

Ha többet tudunk a disztribúcióról, amelyen dolgozunk, akkor általában javulhatunk Markov egyenlőtlenségein. Használatának értéke az, hogy minden negatív értékű eloszlás esetén érvényes.

Például, ha tudjuk az általános iskolában tanulók átlagos magasságát. Markov egyenlőtlensége azt mondja nekünk, hogy a hallgatóknak csak egy hatodának lehet a magassága az átlag magasságának hatszorosa.

Markov egyenlőtlenségének másik jelentős felhasználása a bizonyítás Chebyshev egyenlőtlensége. Ez a tény azt eredményezi, hogy a „Chebyshev's egyenlőtlenség” nevet Markov egyenlőtlenségére is alkalmazzák. Az egyenlőtlenségek elnevezésének zavarát a történelmi körülmények is okozzák. Andrej Markov Pafnuty Chebyshev hallgatója volt. Chebyshev munkája tartalmazza az Markovnak tulajdonított egyenlőtlenséget.