A Yahtzee egy kockajáték, amely öt szokásos hatoldalas kockát használ. Minden körben a játékosok kapnak három gördül, hogy elérje több különböző célt. Minden egyes dobás után a játékos dönthet arról, hogy melyik kocka (ha van ilyen) megtartása és melyik visszatekerés. A célkitűzések számos különféle kombinációt tartalmaznak, amelyek közül sok a pókerből származik. Minden különféle kombináció különféle pontokat érdemel.
A kombinációk két típusát, amelyeket a játékosoknak el kell dobniuk, nevezik egyenesekben: egy kicsi és egy nagy egyenes. A póker egyenesekhez hasonlóan ezek a kombinációk egymást követő kockaból állnak. A kis egyenesek az öt kocka közül négyet és nagy egyenesek használja mind az öt kocka. A kocka gördülésének véletlenszerűsége miatt a valószínűség felhasználható annak elemzésére, hogy valószínű-e egy kicsi egyenes dobása egyetlen tekercsben.
Feltételezések
Feltételezzük, hogy a használt kocka tisztességes és egymástól független. Így egységes mintaterület van, amely az öt kocka minden lehetséges tekercsét tartalmazza. Habár
Yahtzee három tekercset tesz lehetővé, az egyszerűség kedvéért csak azt az esetet vesszük figyelembe, amikor egyetlen tekercsben kicsi egyeneset kapunk.Mintahely
Mivel a egyenruhamintaterület, valószínűségünk kiszámítása pár számítási probléma kiszámításához válik. A kicsi egyenes valószínűsége egy kicsi egyenes gördítésének módja, osztva a mintaterület kimenetelének számával.
Nagyon könnyű kiszámolni az eredmények számát a mintaterületen. Öt kockát dobunk, és ezeknek a kockáknak mind a hat különböző eredménye lehet. A szorzási elv alapvető alkalmazása azt mondja nekünk, hogy a mintaterület 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 65 = 7776 eredmény. Ez a szám lesz a neve azon frakciók nevezője, amelyeket valószínűségünkre használunk.
Egyenesek száma
Ezután tudnunk kell, hogy hány módon lehet egy kis egyeneset gördíteni. Ez nehezebb, mint a mintaterület méretének kiszámítása. Először úgy számoljuk meg, hogy hány egyenes lehetséges.
Egy kis egyenes könnyebben gördíthető, mint egy nagy egyenes, ugyanakkor nehezebb megszámolni, hogy hányféle módon lehet gördíteni az ilyen egyenest. Egy kis egyenes pontosan négy egymást követő számból áll. Mivel a sajtolószerszám hat különböző felülete van, három lehetséges kis egyenes van: {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5} és {3, 4, 5, 6}. A nehézség akkor merül fel, ha megtörténik az ötödik meghalás. Ezekben az esetekben az ötödik szerszámnak olyan számnak kell lennie, amely nem hoz létre nagy egyeneset. Például, ha az első négy kocka 1, 2, 3 és 4 volt, akkor az ötödik szerszám 5-nél nagyobb lehet. Ha az ötödik szerszám egy 5-ös lenne, akkor nagyobb, mint egy kicsi lenne.
Ez azt jelenti, hogy öt lehetséges görgő létezik, amelyek a kicsi egyenes {1, 2, 3, 4} öt lehetőséget adnak tekercsek, amelyek a kicsi egyenes {3, 4, 5, 6}, és négy lehetséges tekercs, amelyek a kicsi egyenes {2, 3, 4, 5}. Ez az utolsó eset különbözik, mivel az ötödik szerszámhoz 1 vagy 6 gördítéssel a {2, 3, 4, 5} nagy egyenesre változik. Ez azt jelenti, hogy 14 különböző módon nyújthat öt kocka egy kis egyenest.
Most meghatározzuk azt a különféle módot, amellyel gördíthetünk egy adott kockakészletet, amelyek egyeneset adnak nekünk. Mivel csak azt kell tudnunk, hogy hány módon lehet ezt megtenni, használhatunk néhány alapvető számlálási technikát.
A kis egyenesek elkülönítésének 14 különféle módja közül ezek közül a {1,2,3,4,6} és a {1,3,4,5,6} közül csak kettő különálló elemekkel rendelkezik. Jelenleg 5! = Összesen 2 x 5 görgetési mód 120! = 240 kis egyenes.
A kicsi egyenes megszerzésének másik 12 módja technikailag multiszets, mivel mindegyik megismételt elemet tartalmaz. Egy adott multiszegmenshez, mint például [1,1,2,3,4], megszámoljuk a különféle módjainak számát, amivel ezt gördíthetjük. Gondolj a kocka öt pozíciójára egymás után:
- C (5,2) = 10 módon lehet elrendezni a két ismétlődő elemet az öt kocka között.
- Vannak 3! = 6 módszer a három különálló elem elrendezésére.
A szorzás elve szerint 6 x 10 = 60 különféle módszer van az 1,1,2,3,4 kocka egyetlen tekercsben történő gördítésére.
60 módon lehet egy ilyen kicsi egyenesen gördíteni ezzel az ötödik szerszámmal. Mivel 12 multiszet ad öt kocka eltérő felsorolását, 60 x 12 = 720 lehetőség van egy kis egyenes gördítésére, amelyben két kocka illeszkedik.
Összesen 2 x 5! + 12 x 60 = 960 egyenes görgetés módja.
Valószínűség
Most egy kicsi egyenes gördülésének valószínűsége egyszerű osztási számítás. Mivel 960 különböző módszer létezik egy kicsi egyenes tekercselésére egyetlen tekercsben, és 7776 tekercs van öt kocka lehetséges, egy kicsi egyenes gördülésének valószínűsége 960/7776, ami közel 1/8 és 12.3%.
Természetesen sokkal valószínűbb, hogy az első tekercs nem egyenes. Ha ez a helyzet, akkor megengedett még két tekercs, hogy egy kicsi egyenes sokkal valószínűbb legyen. Ennek valószínűsége sokkal bonyolultabb meghatározása az összes lehetséges helyzet miatt, amelyet figyelembe kellene venni.