A matematikai statisztikák pillanatai alapvető számítást tartalmaznak. Ezek a számítások felhasználhatók a valószínűség-eloszlás átlagának, varianciájának és ferdességének a meghatározására.
Tegyük fel, hogy van olyan adatkészlete, amely összesen ndiszkrét pont. Az egyik fontos számítás, amely valójában több szám, a sth pillanat. Az saz adathalmaz th-nyomatéka az értékekkel x1, x2, x3,..., xn a képlet adja meg:
(x1s + x2s + x3s +... + xns)/n
Ennek a képletnek a használata megköveteli, hogy legyen óvatos a műveleti sorrendben. Először meg kell tennünk a kitevőket, hozzá kell adnunk, majd el kell osztani ezt az összeget n az összes adatérték.
Megjegyzés a „pillanat” kifejezéshez
A kifejezés pillanat a fizikából vették át. A fizikában a pontsúlyrendszer pillanatát a fenti képlettel megegyező képlettel számolják, és ezt a képletet használják a pontok tömegközéppontjának meghatározásához. A statisztikákban az értékek már nem tömegek, de mint látni fogjuk, a statisztikák pillanatai még mindig megmérnek valamit az értékek középpontjához viszonyítva.
Első pillanat
Az első pillanatban beálltunk s = 1. Az első pillanat képlete tehát:
(x1x2 + x3 +... + xn)/n
Ez megegyezik a minta képletével átlagos.
Az 1, 3, 6, 10 érték első momentuma (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.
Második pillanat
A második pillanatban beálltunk s = 2. A második pillanat képlete:
(x12 + x22 + x32 +... + xn2)/n
Az 1, 3, 6, 10 értékek második momentuma (12 + 32 + 62 + 102) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 146/4 = 36.5.
Harmadik pillanat
A harmadik pillanatban beálltunk s = 3. A harmadik pillanat képlete:
(x13 + x23 + x33 +... + xn3)/n
Az 1, 3, 6, 10 érték harmadik momentuma (13 + 33 + 63 + 103) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 1244/4 = 311.
A magasabb momentumokat hasonló módon lehet kiszámítani. Csak cserélje ki s a fenti képletben a kívánt pillanatot jelző számmal.
Pillanat az átlagról
Kapcsolódó ötlet az sez a pillanat az átlagról. Ebben a számításban a következő lépéseket hajtjuk végre:
- Először számolja ki az értékek átlagát.
- Ezután vonja le ezt az átlagot az egyes értékekből.
- Ezután emelje fel ezeket a különbségeket a sth hatalom.
- Most összeadja a 3. lépéstől a számokat.
- Végül ossza meg ezt az összeget az általunk kezelt értékek számával.
A képlet a sez a pillanat az átlagról m az értékek értékét x1, x2, x3,..., xn által adva:
ms = ((x1 - m)s + (x2 - m)s + (x3 - m)s +... + (xn - m)s)/n
Első pillanat a jelentőségről
Az átlag első pillanata mindig nullával egyenlő, függetlenül attól, hogy melyik adatkészlettel dolgozunk. Ez az alábbiakban látható:
m1 = ((x1 - m) + (x2 - m) + (x3 - m) +... + (xn - m))/n = ((x1+ x2 + x3 +... + xn) - nm)/n = m - m = 0.
Második pillanat az átlagról
A második pillanatot az átlag körül a fenti képletből kapjuk úgy, hogy beállítjuks = 2:
m2 = ((x1 - m)2 + (x2 - m)2 + (x3 - m)2 +... + (xn - m)2)/n
Ez a képlet megegyezik a minta varianciájával.
Például vegye figyelembe az 1, 3, 6, 10 halmazt. Már kiszámoltuk ennek a halmaznak az átlagát 5-ig. Vonja le ezt az egyes adatértékekből, hogy különbségeket kapjon:
- 1 – 5 = -4
- 3 – 5 = -2
- 6 – 5 = 1
- 10 – 5 = 5
Mindegyik értéket négyzetre osztjuk és összeadjuk: (-4)2 + (-2)2 + 12 + 52 = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Végül ossza meg ezt a számot az adatpontok számával: 46/4 = 11,5
A pillanatok alkalmazása
Mint fentebb említettük, az első pillanat az átlag, a második pillanat az átlag körül a minta variancia. Karl Pearson bemutatta a harmadik pillanat használatát a számítás átlagára vonatkozóan ferdeség és a negyedik pillanat a középérték kiszámításánál kurtosis.