Az unió meghatározása és használata a matematikában

Az egyik műveletet, amelyet gyakran használnak új készlet készítésére a régiból, uniónak hívják. A szokásos használatban az unió szó összefogást jelent, például szakszervezetek szervezett munkában vagy a Az Unió helyzete az Egyesült Államok címe elnök a Kongresszus közös ülése elõtt készül. Matematikai értelemben a két halmaz egyesülése megtartja ezt az ötvözés ötletét. Pontosabban, a két készlet egyesülése A és B az összes elem halmaza x oly módon, hogy x a halmaz eleme A vagy x a halmaz eleme B. A szavak, amelyek azt jelzik, hogy uniót használunk, a "vagy" szó.

Ha a "vagy" szót használjuk napi beszélgetésekben, akkor nem vesszük észre, hogy ezt a szót kétféle módon használják. Az utat általában a beszélgetés kontextusából következtetik. Ha azt kérdezik tőle: "Szeretnéd a csirkét vagy a steakot?" a szokásos következtetés az, hogy lehet, hogy van egyik vagy a másik, de nem mindkettő. Ellentétben ezzel a kérdéssel: "Szeretne vajat vagy tejfölt a sült burgonyára?" Itt "vagy" van inkluzív értelemben használva, amelyben csak vaj, csak tejföl, vagy vaj és savanyú közül választhat krém.

A matematikában a "vagy" szót használjuk inkluzív értelemben. Tehát az állítás: "x egy eleme A vagy egy elemét B"azt jelenti, hogy a három közül az egyik lehetséges:

• x az igazság egyik eleme A és nem egy eleme B
• x az igazság egyik eleme B és nem egy eleme A.
• x mindkettő eleme A és B. (Azt is mondhatnánk x a. metszéspontjának egy eleme A és B

Példaként arra, hogy a két készlet egyesítése miként alakul ki egy új halmazt, nézzük meg a készleteket A = {1, 2, 3, 4, 5} és B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. A két készlet egységének megtalálásához egyszerűen felsorolunk minden elemet, amelyet látunk, és ügyeljünk arra, hogy ne másozzunk semmilyen elemet. Az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 számok egy vagy több sorban vannak, tehát a A és B jelentése {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

A meghatározott elméleti műveletekkel kapcsolatos fogalmak megértése mellett fontos, hogy képes legyen olvasni ezeket a műveleteket jelölő szimbólumokat is. A két készlet egyesítéséhez használt szimbólum A és B által adva A ∪ B. Az union szimbólum unióra utalásának egyik módja az, hogy észreveszi annak hasonlóságát egy U nagyvárossal, azaz rövid az „unió” szóval. Legyen óvatos, mert az unió szimbóluma nagyon hasonlít a útkereszteződés. Az egyiket függőleges lepattintással nyerik a másikból.

Ennek a jelölésnek a működéséhez lásd a fenti példát. Itt volt a készleteink A = {1, 2, 3, 4, 5} és B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Így írnánk a beállított egyenletet A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }.

Az egyik alapvető identitás, amely magában foglalja az uniót, megmutatja nekünk, hogy mi történik, ha bármely halmaz unióját az üres készlettel vesszük, amelyet # 8709 jelöl. Az üres készlet az elemek nélküli készlet. Tehát bármilyen más készlethez történő csatlakozásnak nincs hatása. Más szavakkal, ha bármely halmaz és az üres halmaz összekapcsolódik, visszaadjuk az eredeti halmazt

Ez az identitás még kompaktabbá válik jelölésünk használatával. Megvan a személyazonosságunk: A ∪ ∅ = A.

A másik szélsőséges esetben mi történik, ha megvizsgáljuk a egy készlet egyesítése az univerzális készlettel? Mivel az univerzális készlet minden elemet tartalmaz, ehhez semmi mást nem adhatunk hozzá. Tehát az unió vagy bármely készlet az univerzális készlettel az univerzális készlet.

Megjegyzésünk ismét segíti számunkra, hogy kifejezzük ezt az identitást kompaktabb formátumban. Bármely készlethez A és az univerzális készlet U, A ∪ U = U.

Sokkal több meghatározott identitás létezik, amely magában foglalja az unió működését. Természetesen mindig jó gyakorlat a meghatározott elmélet nyelvét használva. Néhány fontosabb az alábbiakban található. Minden készlethez Aés B és D nekünk van:

• Reflexív tulajdonság: A ∪ A =A
• Kommutációs tulajdonság: A ∪ B = B ∪ A
• Társulási ingatlan: (A ∪ B) ∪ D =A ∪ (B ∪ D)
• A DeMorgan I. törvénye: (A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C
• A DeMorgan II. Törvénye: (A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C