A Yahtzee játék öt standard kocka használatát foglalja magában. Minden fordulóban a játékosok három dobást kapnak. Minden egyes dobás után tetszőleges számú kocka megtartható azzal a céllal, hogy e kocka bizonyos kombinációit kapjuk. Minden egyes kombináció különféle pontokat érdemel.
Az ilyen típusú kombinációk egyikét teljes háznak hívják. Mint egy teljes ház a póker játékban, ez a kombináció egy bizonyos számból háromból és egy másik számból álló párból áll. Mivel a Yahtzee magában foglalja a kocka véletlenszerű gördülését, ezt a játékot a valószínűség felhasználásával lehet elemezni annak meghatározására, hogy valószínű-e egy ház teljes dobása egyetlen tekercsben.
Feltételezések
Először a feltételezéseink megállapításával kezdjük. Feltételezzük, hogy a használt kocka tisztességes és egymástól független. Ez azt jelenti, hogy egységes mintaterületünk van, amely az öt kocka minden lehetséges tekercséből áll. Bár a Yahtzee játék három tekercset tesz lehetővé, csak akkor vesszük figyelembe az esetet, ha egyetlen tekercsben teljes házat kapunk.
Mintahely
Mivel a egyenruhamintaterület, valószínűségünk kiszámítása pár számítási probléma kiszámításához válik. A teljes ház valószínűsége a teljes ház gördülési módjainak száma, elosztva a mintaterület eredményeinek számával.
A kimenetelek száma a mintaterületen egyértelmű. Mivel öt kocka van, és ezen kocka mindegyikének lehet a hat különböző kimenetele közül egy, a kimenetek száma a mintaterületen 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 65 = 7776.
Teljes házak száma
Ezután kiszámoljuk a teljes ház gördítésének hány módszerét. Ez egy nehezebb probléma. Ahhoz, hogy teljes házak legyenek, háromféle kockafajtára van szükségünk, amelyet egy pár más típusú kocka követ. Ezt a problémát két részre osztjuk:
- Hányféle típusú házat lehet hengerezni?
- Hányszor lehet egy adott típusú házat gördíteni?
Miután megismertük mindegyik számát, megsokszorozhatjuk őket, hogy megkapjuk a hengerelt teljes házak számát.
Először azt vizsgáljuk, hogy hányféle típusú házat lehet hengerezni. Az 1, 2, 3, 4, 5 vagy 6 szám bármelyikét fel lehet használni a háromféle fajtához. A párnak még öt száma van. Tehát 6 x 5 = 30 különféle típusú házikombináció létezik, amelyeket hengerezni lehet.
Például 5, 5, 5, 2, 2 lehet egy típusú ház. Egy másik típusú teljes ház a 4, 4, 4, 1, 1 lehet. Egy másik még az 1, 1, 4, 4, 4, ami különbözik az előző teljes háztól, mivel a négyes és a négyes szerepe váltott.
Most meghatározzuk az egyes házak gördítésének különböző módjait. Például az alábbiak mindegyike ugyanazt a három négyes és két házat adja nekünk:
- 4, 4, 4, 1, 1
- 4, 1, 4, 1, 4
- 1, 1, 4, 4, 4
- 1, 4, 4, 4, 1
- 4, 1, 4, 4, 1
Látjuk, hogy legalább öt módon lehet egy adott házat gördíteni. Vannak mások? Még ha más lehetőségeket is felsorolunk, honnan tudhatjuk, hogy mindegyiket megtaláltuk?
E kérdések megválaszolásának kulcsa annak felismerése, hogy számlálási problémával állunk szemben, és annak meghatározása, hogy milyen típusú számlálási problémával dolgozunk. Öt pozíció van, és ezek közül háromnak négyet kell kitöltenie. A négyes helyzet elrendezésének sorrendje nem számít, mindaddig, amíg a pontos helyek meg vannak töltve. Miután a négyes helyzetét meghatározták, az automatikusan elhelyezi azokat. Ezen okok miatt figyelembe kell vennünk a kombináció öt pozícióból, amelyeket egyszerre három vesz fel.
A kombinációs képletet használjuk a megszerzéshez C(5, 3) = 5! / (3! 2!) = (5 x 4) / 2 = 10. Ez azt jelenti, hogy 10 különböző módon lehet egy adott házat gördíteni.
Mindezt összerakva, megvan a számunk teleházak. 10 x 30 = 300 módon lehet teljes házat elérni egy tekercsben.
Valószínűség
Most a a teljes ház valószínűsége egy egyszerű osztási számítás. Mivel 300féleképpen lehet teljes házat tekercselni egyetlen tekercsben, és 7776 tekercs öt kocka lehetséges, a teljes ház gördülésének valószínűsége 300/7776, ami közel 1/26 és 3,85%. Ez 50-szer valószínűbb, mint a Yahtzee egyetlen tekercsben történő gördítése.
Természetesen nagyon valószínű, hogy az első tekercs nem teljes ház. Ha ez a helyzet, akkor még két tekercs megengedett, ami sokkal valószínűbbé teszi a teljes házat. Ennek valószínűsége sokkal bonyolultabb meghatározása az összes lehetséges helyzet miatt, amelyet figyelembe kellene venni.