A véletlen változó eloszlásának szórása fontos jellemző. Ez a szám egy eloszlás eloszlását jelöli, és a kerekítésével találja meg szórás. Az egyik leggyakrabban használt különálló terjesztés a Poisson-eloszlásé. Látjuk, hogyan lehet kiszámítani a Poisson-eloszlás varianciáját az λ paraméterrel.
A Poisson-eloszlás
A Poisson-eloszlásokat akkor használják, ha van valamilyen kontinuuma, és ebben a kontinuumban diszkrét változásokat számolunk. Ez akkor fordul elő, ha figyelembe vesszük az emberek számát, akik egy óra alatt érkeznek a filmjegy-pulthoz, és nyomon követik a négyutas megállóval kereszteződésen áthaladó autók száma, vagy meg kell számolni a hosszúságban előforduló hibák számát huzal.
Ha néhány tisztázó feltételezést teszünk ezekben a forgatókönyvekben, akkor ezek a helyzetek megfelelnek a Poisson-folyamat feltételeinek. Azt mondjuk, hogy a változások számát kiszámító véletlen változónak Poisson-eloszlása van.
A Poisson-eloszlás valójában egy eloszlás végtelen családjára utal. Ezek az eloszlások egyetlen λ paraméterrel vannak felszerelve. A paraméter pozitív
valós szám ez szorosan kapcsolódik a kontinuumban megfigyelt változások várható számához. Ezenkívül látni fogjuk, hogy ez a paraméter nem csak a átlagos megoszlása mellett az eloszlás varianciája is.A Poisson-eloszlás valószínűségi tömegfüggvényét a következő képlet adja meg:
f(x) = (λxe-λ)/x!
Ebben a kifejezésben a levél e egy szám és a matematikai állandó, amelynek értéke megközelítőleg 2,718281828. A változó x bármilyen nem negatív egész szám lehet.
A variancia kiszámítása
A Poisson-eloszlás átlagának kiszámításához ezt az eloszlást használjuk pillanat-generáló függvény. Látjuk, hogy:
M( t ) = E [etx] = Σ etxf( x) = Σetx λxe-λ)/x!
Most emlékeztetünk a Maclaurin sorozatra eu. Mivel a függvény bármely származéka eu jelentése eu, ezeknek a nullánál értékelt származékoknak az eredménye 1. Az eredmény a sorozat eu = Σ un/n!.
A Maclaurin sorozat felhasználásával eu, a pillanatképző funkciót nem sorozatként, hanem zárt formában fejezhetjük ki. Minden kifejezést egyesítünk a x. Így M(t) = eλ(et - 1).
Megtaláljuk a varianciát a második származék vételével M és ezt nullán értékeljük. Mivel M’(t) =λetM(t), a termékszabályt használjuk a második származék kiszámításához:
M’’(t)=λ2e2tM’(t) + λetM(t)
Ezt nullánál értékeljük és megtaláljuk M’’(0) = λ2 + λ. Ezután azt a tényt használjuk, hogy M'(0) = λ a variancia kiszámításához.
var (x) = λ2 + λ – (λ)2 = λ.
Ez azt mutatja, hogy az λ paraméter nemcsak a Poisson-eloszlás átlaga, hanem a szórása is.