Valószínűségek és hazug kocka

Számos szerencsejáték elemezhető a valószínűség matematikájával. Ebben a cikkben megvizsgáljuk a Liar's Dice nevű játék különféle aspektusait. A játék leírása után kiszámítjuk a vele kapcsolatos valószínűségeket.

A Liar's Dice játék valójában egy blöfföléssel és megtévesztéssel járó játékcsalád. Ennek a játéknak számos változata létezik, és több különféle néven megy keresztül, mint például a Pirate's Dice, a csalás és a Dudo. Ennek a játéknak egy verzióját a Karib-tenger kalózai: Halott ember mellkasi című filmben mutatták be.

A játék változatában, amelyet megvizsgálunk, minden játékosnak van egy csésze és azonos számú kockakészlet. A kocka szokásos, hatoldalas kocka, számozva egytől hatodig. Mindenki dobja a kockaját, miközben a kupa eltakarja őket. A megfelelő időben a játékos megnézi a kockakészletét, és rejtve tartja őket mindenki másától. A játékot úgy tervezték, hogy minden játékos tökéletesen ismeri a saját kockakészletét, de nincs ismerete a többi dobott kockaról.

Miután mindenkinek lehetősége volt megnézni a dobott kockáját, megkezdődik a licitálás. Minden fordulóban a játékosnak két választási lehetősége van: magasabb ajánlatot tehet, vagy hazudik az előző ajánlatot. Az ajánlatok magasabbak lehetnek, ha magasabb kockaértéket ajánlanak egytől hat-ig, vagy ha nagyobb számú ajánlatot tesznek ugyanazon kockaértékre.

Például a „Három kettő” ajánlatot növelhetik a „Négy kettő” megadásával. Ez szintén növelhető mondván: „Három hármas”. Általában sem a kocka száma, sem a kocka értéke nem csökkenhet.

Mivel a kockák többsége rejtett helyzetben van, fontos tudni, hogyan kell kiszámítani bizonyos valószínűségeket. Ha ezt ismeri, könnyebb megérteni, hogy mely ajánlatok valószínűleg igazak, és melyek valószínűleg hazugságok.

Az első szempont az, hogy megkérdezzük: „Hány hasonló kocka várható el?” Például, ha öt kockát dobunk, ezek közül hány számíthatnánk kettőnek? A kérdésre adott válasz a következő gondolatot használja: várható érték.

A véletlenszerű változó várható értéke egy adott érték valószínűsége, szorozva ezzel az értékkel.

Annak valószínűsége, hogy az első szerszám kettő, 1/6. Mivel a kocka egymástól független, annak valószínűsége, hogy bármelyik kettő kettő, 1/6. Ez azt jelenti, hogy a hengerelt ikrek várható száma 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

A kettő eredményében természetesen nincs semmi különös. A kocka számát illetően semmi különösebb nincs. Ha gördülnénk n kocka, akkor a hat lehetséges eredmény közül bármelyik várható száma n/6. Ezt a számot jó tudni, mert alapot ad nekünk, amelyet felhasználhatunk mások ajánlatainak megkérdőjelezésekor.

Például, ha hazugságkockát hat kockával játsszunk, akkor az 1-től 6-ig terjedő bármelyik érték várható értéke 6/6 = 1. Ez azt jelenti, hogy szkeptikusaknak kell lennünk, ha valaki bármelyik értéknél többet kínál. Hosszú távon az összes lehetséges érték egyikét átlagoljuk.

Tegyük fel, hogy öt kockát dobunk, és meg akarjuk találni annak valószínűségét, hogy két hármat gördítünk. Az a valószínűsége, hogy egy szerszám három, 1/6. Annak valószínűsége, hogy a szerszám nem három, 5/6. Ezeknek a kockáknak a tekercsei egymástól független események, így a valószínűségeket szorzzuk meg a szorzási szabály.

Az a valószínűség, hogy az első két kocka három, a másik kocka nem három, a következő termék adja:

(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6)

Az első két kocka, amely hármas, csak egy lehetőség. A három kocka lehet az öt dobott kocka közül bármelyik kettője. Olyan szerszámot jelölünk, amely nem háromszoros *. Az öt lehetséges tekercsből kétharmadot a következőképpen lehet létrehozni:

• 3, 3, *, * ,*
• 3, *, 3, * ,*
• 3, *, * ,3 ,*
• 3, *, *, *, 3
• *, 3, 3, *, *
• *, 3, *, 3, *
• *, 3, *, *, 3
• *, *, 3, 3, *
• *, *, 3, *, 3
• *, *, *, 3, 3

Látjuk, hogy tíz módon lehet pontosan két hármat dobni öt kocka közül.

Most megsokszoroztuk a valószínűségünket a tíz módszerrel, amellyel a kocka ilyen konfigurációját megkaphatjuk. Az eredmény 10 x (1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) = 1250/7776. Ez körülbelül 16%.

Most általánosítjuk a fenti példát. Figyelembe vesszük a gördülés valószínűségét n kocka és pontosan megszerzése k amelyek bizonyos értékűek.

Csakúgy, mint korábban, a kívánt szám gördülésének valószínűsége 1/6. A szám elkerülésének valószínűségét a kiegészítő szabály mint 5/6. Mi akarunk k kockánk lesz a kiválasztott szám. Ez azt jelenti n - k olyan számok, amelyek nem a kívántak. Az első valószínűsége k a kocka egy bizonyos szám a másik kocka mellett, nem ez a szám:

(1/6)^k(5/6)^{n - k}

Unalmas lenne, nem is beszélve az időigényről, hogy felsorolja az összes lehetséges módot a kocka egy adott konfigurációjának gördítésére. Ezért jobb, ha a számlálási alapelveinket használjuk. Ezen stratégiákon keresztül látjuk, hogy számítunk kombinációk.

Vannak C (n, k) gördülési módok k egy bizonyos típusú kocka n dobókocka. Ezt a számot a képlet adja meg n!/(k!(n - k)!)

Összerakva mindent, látjuk ezt, amikor gördülünk n kocka, annak valószínűsége, hogy pontosan k közülük egy adott számot a következő képlet ad meg:

[n!/(k!(n - k)!)] (1/6)^{k(5/6)n - k}

Van egy másik módszer az ilyen típusú problémák megfontolására. Ez magában foglalja a binomiális eloszlás a siker valószínűségével p = 1/6. A képlet pontosan k e kocka egy bizonyos számú számát a binomiális valószínűségi tömegfüggvényének nevezik terjesztés.

Egy másik helyzet, amelyet figyelembe kell vennünk, egy bizonyos érték legalább egy bizonyos értékének gördülésének valószínűsége. Például, ha öt kocka gördítünk, milyen valószínűséggel dob legalább három darabot? Három, négy vagy öt dobhatnánk. A valószínűség meghatározásához három valószínűséget összegezzünk.

Az alábbiakban felsoroljuk a valószínűség pontos táblázatát k egy bizonyos érték, amikor öt kocka dobunk.

Ezután a következő táblázatot vesszük figyelembe. Ez megadja annak valószínűségét, hogy legalább egy bizonyos értéket eldobjon, amikor összesen öt kocka dobunk. Látjuk, hogy bár nagyon valószínű, hogy legalább egy 2-et eldob, nem olyan valószínű, hogy legalább négy 2-et dob.