A valószínűség vizsgálatának egyik népszerű módja a kocka dobása. A standard matricának hat oldala van, apró pontokkal, 1, 2, 3, 4, 5 és 6 számozva. Ha a meghalás tisztességes (és mi is feltételezni hogy mindegyikük van), akkor a kimenetek mindegyike valószínű. Mivel hat lehetséges eredmény van, a szerszám bármelyik oldalának valószínűsége 1/6. Az 1 gördülésének valószínűsége 1/6, a 2 gördülésének valószínűsége 1/6, és így tovább. De mi történik, ha újabb szerszámot adunk hozzá? Milyen valószínűséggel fordul elő két kocka?
Dice roll valószínűség
A kockacsavarás valószínűségének helyes meghatározásához két dolgot kell tudnunk:
- A mintaterület vagy az összes lehetséges eredmény halmaza
- Milyen gyakran fordul elő egy esemény
Ban ben valószínűség, egy esemény a mintaterület egy bizonyos részhalmaza. Például, ha csak egy szerszámgördítést végeznek, mint a fenti példában, akkor a mintaterület megegyezik a szerszám vagy a készlet összes értékével (1, 2, 3, 4, 5, 6). Mivel a szerszám tisztességes, a készletben szereplő számok csak egyszer fordulnak elő. Más szavakkal, az egyes számok frekvenciája 1. A szerszám bármelyikének gördülésének valószínűségét megoszthatjuk az esemény frekvenciáját (1) a mintaterület (6) méretével, így 1/6 valószínűséget kapunk.
Két tisztességes kocka gördítése több mint kétszeresére növeli a valószínűségek kiszámításának nehézségét. Ennek oka az, hogy az egyik szerszámgördítés független a második gördítésétől. Az egyik tekercs nincs hatással a másikra. A független események kezelésekor a szorzási szabály. Egy fadiagram használata azt mutatja, hogy 6 x 6 = 36 lehetséges eredmény van a két kocka gördítésével.
Tegyük fel, hogy az első dobott szerszám 1-ként jelent meg. A másik szerszámgörgő lehet 1, 2, 3, 4, 5 vagy 6. Tegyük fel, hogy az első szerszám 2-es. A másik szerszámgömb ismét lehet 1, 2, 3, 4, 5 vagy 6. Már 12 lehetséges eredményt találtunk, és még nem merítettük ki az első halál összes lehetőségét.
Két kocka gördülésének valószínűségi táblázata
Két kocka gördítésének lehetséges eredményeit az alábbi táblázat mutatja be. Vegye figyelembe, hogy az összes lehetséges eredmény száma megegyezik az első szerszám mintaterületével (6) szorzatát a második szerszám mintaterületével (6), amely 36.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Három vagy több kocka
Ugyanez az elv érvényes, ha dolgozunk három kockát érintő problémák. Szorozzuk meg, és látjuk, hogy 6 x 6 x 6 = 216 lehetséges eredmény van. Mivel nehézkes megismételni az ismételt szorzás írását, exponenseket használhatunk a munka egyszerűsítésére. Két kocka esetén 6 van2 lehetséges eredmények. Három kocka esetén 6 van3 lehetséges eredmények. Általában, ha gördítünk n kocka, akkor összesen 6n lehetséges eredmények.
Mintaproblémák
Ezzel a tudással mindenféle valószínűségi problémát meg tudunk oldani:
1. Két hatoldalas kockát gördítünk. Mennyire valószínű, hogy a két kocka összege hét?
A probléma megoldásának legegyszerűbb módja a fenti táblázat áttekintése. Észre fogja venni, hogy minden sorban van egy kockahenger, ahol a két kocka összege hét. Mivel hat sor van, hat lehetséges eredmény van, ha a két kocka összege hét. A lehetséges lehetséges eredmények száma továbbra is 36. Megint megtudjuk a valószínűséget azáltal, hogy a (6) eseményfrekvenciát elosztjuk a mintaterület (36) méretével, így 1/6 valószínűséget kapunk.
2. Két hatoldalas kockát gördítünk. Mennyire valószínű, hogy? összege a két kocka három?
Az előző probléma során észrevetted, hogy azok a cellák, amelyekben a két kocka összege egyenlő héttel, átlót alkotnak. Ugyanez igaz a helyzetre, kivéve ebben az esetben csak két cellát tartalmaz, ahol a kocka összege három. Ennek oka az, hogy ennek az eredménynek csak két módja van. Az 1-es és a 2-es gördülnie kell, vagy a 2-et és 1-et kell gördítenie. A hétösszeg gördítése sokkal nagyobb (1 és 6, 2 és 5, 3 és 4, és így tovább). Annak valószínűségének megállapításához, hogy a két kocka összege három, oszthatjuk az eseményfrekvenciát (2) a mintaterület méretével (36), így 1/18 valószínűséget kapunk.
3. Két hatoldalas kockát gördítünk. Mi a valószínűsége, hogy a szám a kocka különböző?
Ismét könnyedén megoldhatjuk ezt a problémát a fenti táblázat segítségével. Észre fogja venni, hogy azok a cellák, amelyekben a kockaszámok azonosak, átlósan alakulnak ki. Ezek közül csak hat van, és miután kiszűrjük őket, megvannak a fennmaradó cellák, amelyekben a kocka száma más. Vehetjük a kombinációk számát (30) és oszthatjuk a mintaterület méretével (36), így 5/6 valószínűséggel járhat.