Munkalap a Chebyshev egyenlőtlenségéhez

Chebyshev egyenlőtlensége azt mondja, hogy legalább 1 -1 /K² A mintának az adatmennyiségének belül kell lennie Kstandard eltérések tól átlagos, holK bármilyen pozitív valós szám egynél nagyobb. Ez azt jelenti, hogy nem kell tudnunk az adataink terjesztésének formáját. Kizárólag az átlag és a szórás, az adatmennyiséget bizonyos számú standard eltéréssel határozhatjuk meg az átlagtól.

Az alábbiakban felsorolunk néhány problémát az egyenlőtlenség alkalmazásával.

A másodosztályú osztályok átlagos magassága öt láb, szórása egy inch. Legalább az osztály hány százalékának kell lennie 4'10 "és 5'2" között?

A fenti tartományban megadott magasságok két szórástól eltérnek az öt láb átlagos magasságától. Chebyshev egyenlőtlensége szerint legalább 1 - 1/2² = 3/4 = az osztály 75% -a az adott magassági tartományban van.

Egy adott cég számítógépei átlagosan három évig tartanak hardverhibák nélkül, két hónapos szórással. Legalább a számítógépek hány százaléka tart 31 és 41 hónap között?

A három év átlagos élettartama 36 hónapnak felel meg. A 31 és 41 hónap közötti időtartamok mindegyike 5/2 = 2,5 szórás az átlagtól. Chebyshev egyenlőtlensége szerint legalább 1 - 1 / (2,5) 6² = A számítógépek 84% -a 31 és 41 hónap között tart.

A tenyészet baktériumai átlagosan három órán keresztül élnek, 10 perc szórással. Legalább a baktériumok töredéke él két és négy óra között?

Két és négy óra egy óra távolságra van az átlagtól. Egy óra hat szórásnak felel meg. Tehát legalább 1 - 1/6² = 35/36 = A baktériumok 97% -a él két és négy óra között.

Mi a legkevesebb a standard eltérések attól az átlagtól, amelybe kell mennünk, ha azt akarjuk biztosítani, hogy a terjesztés adatainak legalább 50% -a rendelkezzen?

Itt Chebyshev egyenlőtlenségét és hátrányos helyzetét használjuk. 50% -ot akarunk = 0,50 = 1/2 = 1 - 1 /K². A cél az, hogy az algebrát használjuk fel a megoldáshoz K.

Látjuk, hogy 1/2 = 1 /K². Szorzzuk meg és lássuk, hogy 2 =K². Mindkét oldal négyzetes gyökerét vesszük, és azóta K számos standard eltérés, figyelmen kívül hagyjuk az egyenlet negatív megoldását. Ez azt mutatja K egyenlő a négyzet négyzetgyökével. Tehát az adatok legalább 50% -a körülbelül 1,4 normál eltéréssel van az átlagtól.

A 25. busz útvonal átlagos időtartama 50 perc, szórása 2 perc. A buszrendszer promóciós plakátja kijelenti, hogy „a 25. sz. Buszút 95% -a ____ és ____ perc között tart”. Milyen számokkal töltse ki a kitöltőket?

Ez a kérdés hasonló az utolsóhoz, amelyben meg kell oldani K, a standard eltérések száma az átlagtól. Kezdje a 95% = 0,95 = 1 - 1 / beállításávalK². Ez azt mutatja, hogy 1 - 0,95 = 1 /K². Egyszerűsítve látja, hogy 1 / 0,05 = 20 = K². Így K = 4.47.

Most fejezzük ki ezt a fenti feltételek szerint. Az összes túra legalább 95% -a 4,47 szórás az 50 perc átlagos időtartamától. Szorozzuk meg a 4.47-et 2-es szórással, kilenc perc eltelte után. Tehát az idő 95% -a a 25. buszjárat 41 és 59 perc között tart.