Prímszám véletlenszerű kiválasztása

A számelmélet a matematika ez az egész szám halmazát érinti. Ezzel valamivel korlátozzuk magunkat, mivel nem vizsgálunk közvetlenül más számokat, például az irracionalistákat. Ugyanakkor más típusú valós számok használt. Ezen túlmenően a valószínűség tárgyának számos összefüggése és kereszteződése van a számelmélettel. Ezeknek a kapcsolatoknak az egyikének kapcsolódnia kell a prímszámok. Pontosabban feltehetjük azt a kérdést, hogy mi a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott egész szám 1 és 1 között van x egy prímszám?

Mint minden matematikai probléma esetén, fontos megérteni nemcsak a feltételezéseket, hanem a probléma összes kulcsfogalmának meghatározását is. Erre a problémára a pozitív egész számokat vesszük figyelembe, azaz az egész számok 1, 2, 3,... akár néhány számig x. Véletlenszerűen választjuk ki ezen számok egyikét, ami azt jelenti, hogy mind x közülük valószínűleg megválasztásra kerülnek.

Megpróbáljuk meghatározni annak valószínűségét, hogy prímszámot választunk. Ezért meg kell értenünk egy prímszám meghatározását. A prímszám egy pozitív egész szám, amelynek pontosan két tényezõje van. Ez azt jelenti, hogy a prímszámok osztói csak az egyik és maga a szám. Tehát a 2,3 és 5 prímek, de a 4, 8 és 12 nem prímsek. Megjegyezzük, hogy mivel a prímszámnak két tényezőnek kell lennie, az 1-es szám

Ennek a problémának a megoldása alacsony számok esetén egyértelmű x. Csak annyit kell tennünk, hogy megszámoljuk a kevesebb vagy azzal egyenlő prímszámot x. A prímszámot kevesebbtel vagy azzal egyenlőre osztjuk x a szám szerint x.

Például ahhoz, hogy megállapítsuk annak valószínűségét, hogy az elsőbbséget 1-től 10-ig választjuk meg, meg kell osztanunk a prímek számát 1-től 10-ig. A 2, 3, 5, 7 számok elsődlegesek, tehát annak valószínűsége, hogy egy elsőszámot választanak, 4/10 = 40%.

Az a valószínűség, hogy egy primert 1 és 50 között választják meg, hasonló módon állapítható meg. Az 50-nél kevesebb prím: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 és 47. 15 olyan prím van, amely 50-nél kevesebb vagy egyenlő. Így annak a valószínűsége, hogy egy primert véletlenszerűen választják ki, 15/50 = 30%.

Ezt a folyamatot a prímek egyszerű számlálásával hajthatjuk végre, feltéve, hogy rendelkezünk a prímek listájával. Például 25 prím van 100-nál kevesebb vagy azzal egyenlő. (Tehát annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott szám 1 és 100 között prímérték, 25/100 = 25%.) Ha azonban nincs listánk a prímszámokból, számítási szempontból félelmetes lehet olyan prímszámok halmazának meghatározása, amelyek egy adottnál kisebbek vagy egyenlőek szám x.

Ha nem rendelkezik olyan prímszámmal, amely kevesebb vagy egyenlő x, akkor van egy alternatív módszer a probléma megoldására. A megoldás matematikai eredményt tartalmaz, amelyet prímszám tételként hívunk. Ez egy nyilatkozat a prímok általános eloszlásáról, és felhasználható annak a valószínűségnek a közelítésére, amelyet megpróbálunk meghatározni.

A prímszám tétel szerint kb x / ln (x) prímszámok, amelyek kevesebbek vagy egyenlőek x. Itt ln (x) jelöli a xvagy más szavakkal: a szám e. Mivel a x növeli a közelítést javul, abban az értelemben, hogy a prímszámok közötti relatív hibacsökkenés kevesebb, mint x és a kifejezés x / ln (x).

A prímszám tétel eredményét felhasználhatjuk a megoldandó probléma megoldására. A prímszám tétel alapján tudjuk, hogy vannak körülbelül x / ln (x) prímszámok, amelyek kevesebbek vagy egyenlőek x. Ezen felül összesen vannak x pozitív egész szám, amely kisebb vagy egyenlő: x. Ezért annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott szám ebben a tartományban prím (x / ln (x) ) /x = 1 / ln (x).

Ezt az eredményt most felhasználhatjuk annak valószínűségének becslésére, hogy véletlenszerűen válasszunk egy prima számot az első közül milliárd, ezermillió egészek. Kiszámoljuk a milliárd természetes logaritmát, és látjuk, hogy ln (1 000 000 000) körülbelül 20,7 és 1 / ln (1 000 000 000) körülbelül 0,0483. Így körülbelül 4,83% valószínűséggel véletlenszerűen választunk ki elsőszámot az első milliárd egész számból.